يرجع تقدم البشرية إلى حد كبير إلى الاكتشافات التي قام بها العباقرة. واحد منهم هو بليز باسكال. تؤكد سيرته الذاتية الإبداعية مرة أخرى حقيقة تعبير Lion Feuchtwanger "شخص موهوب وموهوب في كل شيء". من الصعب إحصاء جميع الإنجازات العلمية لهذا العالم العظيم. من بينها واحد من أكثر الاختراعات أناقة في عالم الرياضيات - مثلث باسكال.
بضع كلمات عن العبقري
مات بليز باسكال مبكرًا بالمعايير الحديثة ، عن عمر يناهز 39 عامًا. ومع ذلك ، تميز في حياته القصيرة بأنه فيزيائي ورياضيات وفيلسوف وكاتب بارز. قام أحفاد ممتنون بتسمية وحدة الضغط ولغة البرمجة الشعبية باسكال تكريما له. تم استخدامه لما يقرب من 60 عامًا لتعليم كيفية كتابة الرموز المختلفة. على سبيل المثال ، بمساعدتها ، يمكن لكل طالب كتابة برنامج لحساب مساحة المثلث في باسكال ، وكذلك استكشاف خصائص الدائرة ، حولوالتي سيتم مناقشتها أدناه.
نشاط هذا العالم ذو التفكير الاستثنائي يمتد إلى مجموعة متنوعة من مجالات العلوم. على وجه الخصوص ، يعد Blaise Pascal أحد مؤسسي الهيدروستاتيكا والتحليل الرياضي وبعض مجالات الهندسة ونظرية الاحتمالات. كما قال:
- أنشأ آلة حاسبة ميكانيكية تعرف باسم عجلة باسكال ؛
- دليلًا تجريبيًا على أن الهواء له مرونة ووزن ؛
- أثبت أنه يمكن استخدام مقياس الضغط للتنبؤ بالطقس ؛
- اخترع عربة اليد ؛
- اخترع omnibus - عربات تجرها الخيول ذات طرق ثابتة ، والتي أصبحت فيما بعد النوع الأول من وسائل النقل العام المنتظمة ، إلخ.
قدم
مثلث باسكال الحسابي
كما ذكرنا سابقًا ، قدم هذا العالم الفرنسي العظيم مساهمة كبيرة في العلوم الرياضية. واحدة من روائعه العلمية المطلقة هي "رسالة في المثلث الحسابي" ، والتي تتكون من معاملات ذات حدين مرتبة بترتيب معين. خصائص هذا المخطط ملفتة للنظر في تنوعها ، وهي نفسها تؤكد المثل القائل "كل شيء عبقري بسيط!".
قليلا من التاريخ
لكي نكون منصفين ، يجب أن يقال أن مثلث باسكال كان معروفًا في أوروبا منذ بداية القرن السادس عشر. على وجه الخصوص ، يمكن رؤية صورته على غلاف كتاب مدرسي حسابي لعالم الفلك الشهير بيتر أبيان من جامعة إنغولشتات. يظهر أيضًا مثلث مشابه كتوضيح.في كتاب لعالم الرياضيات الصيني يانغ هوي ، نُشر عام 1303. كان الشاعر والفيلسوف الفارسي اللافت للنظر عمر الخيام على دراية بخصائصها في بداية القرن الثاني عشر. علاوة على ذلك ، يُعتقد أنه قابله من رسائل علماء عرب وهنود كتبها سابقًا.
الوصف
قبل استكشاف أهم خصائص مثلث باسكال ، الجميل في كماله وبساطته ، يجدر بنا معرفة ماهيته.
من الناحية العلمية ، هذا المخطط العددي هو جدول مثلثي لا نهاية له يتكون من معاملات ذات الحدين مرتبة بترتيب معين. في الجزء العلوي وعلى الجانبين توجد الأرقام 1. يتم شغل المواضع المتبقية بأرقام مساوية لمجموع العددين الموجودين فوقهما بجانب بعضهما البعض. علاوة على ذلك ، كل خطوط مثلث باسكال متناظرة حول محوره العمودي.
الميزات الأساسية
يضرب مثلث باسكال بكماله. لأي سطر مرقم n (n=0، 1، 2…) صحيح:
- الأرقام الأولى والأخيرة هي 1 ؛
- الثانية وقبل الأخيرة - n ؛
- الرقم الثالث يساوي العدد المثلث (عدد الدوائر التي يمكن ترتيبها في مثلث متساوي الأضلاع ، أي 1 ، 3 ، 6 ، 10): T -1=n (ن - 1) / 2.
- الرقم الرابع رباعي السطوح أي أنه هرم بمثلث في قاعدته
بالإضافة إلى ذلك ، مؤخرًا نسبيًا ، في عام 1972 ، تم إنشاء خاصية أخرى لمثلث باسكال. من أجلهلمعرفة ذلك ، تحتاج إلى كتابة عناصر هذا المخطط في شكل جدول مع إزاحة صف بمقدار موضعين. ثم لاحظ الأرقام القابلة للقسمة على رقم السطر. اتضح أن رقم العمود الذي يتم فيه تمييز جميع الأرقام هو رقم أولي.
يمكن عمل نفس الحيلة بطريقة أخرى. للقيام بذلك ، في مثلث باسكال ، يتم استبدال الأرقام ببقية القسمة على رقم الصف في الجدول. ثم يتم ترتيب الخطوط في المثلث الناتج بحيث يبدأ العمود التالي بعمودين على اليمين من العنصر الأول في العنصر السابق. ثم الأعمدة التي تحتوي على أرقام أولية ستتكون فقط من الأصفار ، وتلك التي تحتوي على أرقام مركبة سوف تحتوي على صفر واحد على الأقل.
اتصال مع ذات الحدين لنيوتن
كما تعلم ، هذا هو اسم صيغة التوسع إلى حيث قوة عدد صحيح غير سالب لمجموع متغيرين ، والتي تبدو مثل:
المعاملات الموجودة فيها تساوي C m=n! / (م! (ن - م)!) ، حيث م هو الرقم الترتيبي في الصف ن لمثلث باسكال. بعبارة أخرى ، وجود هذا الجدول في متناول اليد ، يمكنك بسهولة رفع أي أرقام إلى قوة ، بعد أن قامت بتقسيمها مسبقًا إلى فترتين.
وهكذا ، فإن مثلث باسكال وحدين نيوتن مرتبطان ارتباطًا وثيقًا.
عجائب الرياضيات
الفحص الدقيق لمثلث باسكال يكشف أن:
- مجموع كل الأرقام في السطر معالرقم التسلسلي n (العد من 0) هو 2 ؛
- إذا تم محاذاة السطور إلى اليسار ، فإن مجموع الأرقام الموجودة على طول أقطار مثلث باسكال ، والتي تنتقل من الأسفل إلى الأعلى ومن اليسار إلى اليمين ، تساوي أرقام فيبوناتشي ؛
- يتكون "القطر" الأول من أعداد طبيعية بالترتيب ؛
- أي عنصر من مثلث باسكال ، مخفض بمقدار واحد ، يساوي مجموع كل الأرقام الموجودة داخل متوازي الأضلاع ، والمحدودة بقطري اليمين واليسار المتقاطعين على هذا الرقم ؛
- في كل سطر من الرسم التخطيطي ، مجموع الأرقام في الأماكن الزوجية يساوي مجموع العناصر في الأماكن الفردية.
مثلث سيربينسكي
مثل هذا المخطط الرياضي المثير للاهتمام ، واعد جدًا من حيث حل المشكلات المعقدة ، يتم الحصول عليه من خلال تلوين الأرقام الزوجية لصورة باسكال بلون واحد ، والأرقام الفردية في لون آخر.
يمكن بناء مثلث Sierpinski بطريقة أخرى:
- في مخطط باسكال المظلل ، يتم إعادة طلاء المثلث الأوسط بلون مختلف ، والذي يتكون عن طريق توصيل نقاط المنتصف على جانبي الشكل الأصلي ؛
- افعل الشيء نفسه تمامًا مع ثلاثة غير مصبوغة موجودة في الزوايا ؛
- إذا استمر الإجراء إلى أجل غير مسمى ، فيجب أن تكون النتيجة رقمًا ثنائي اللون.
الخاصية الأكثر إثارة للاهتمام في مثلث Sierpinski هي تشابهه الذاتي ، لأنه يتكون من 3 نسخ منه ، والتي يتم تقليلها مرتين. يسمح لنا بإسناد هذا المخطط إلى منحنيات كسورية ، وهي كما هو موضح في الأحدثالبحث هو الأنسب للنمذجة الرياضية للسحب والنباتات ودلتا الأنهار والكون نفسه.
العديد من المهام الشيقة
أين يستخدم مثلث باسكال؟ تتنوع أمثلة المهام التي يمكن حلها بمساعدتها تمامًا وتنتمي إلى مجالات علمية مختلفة. دعونا نلقي نظرة على بعض من أكثر إثارة للاهتمام.
المشكلة 1. بعض المدن الكبيرة المحاطة بجدار حصن بها بوابة مدخل واحدة فقط. عند التقاطع الأول ، ينقسم الطريق الرئيسي إلى قسمين. نفس الشيء يحدث في أي دولة أخرى. 210 شخص يدخلون المدينة. في كل من التقاطعات التي يلتقون بها ، يتم تقسيمهم إلى نصفين. كم عدد الأشخاص الذين سيتم العثور عليهم عند كل تقاطع عندما لا يكون من الممكن المشاركة. إجابتها هي السطر 10 من مثلث باسكال (معادلة المعامل معروضة أعلاه) ، حيث توجد الأرقام 210 على جانبي المحور الرأسي.
المهمة 2. هناك 7 أسماء للألوان. تحتاج إلى عمل باقة من 3 أزهار. مطلوب لمعرفة عدد الطرق المختلفة التي يمكن القيام بها. هذه المشكلة من مجال التوافقية. لحلها ، نستخدم مثلث باسكال مرة أخرى ونحصل على السطر السابع في الموضع الثالث (الترقيم في كلتا الحالتين من 0) الرقم 35.
الآن أنت تعرف ما اخترعه الفيلسوف والعالم الفرنسي العظيم بليز باسكال. يمكن لمثلثها الشهير ، عند استخدامه بشكل صحيح ، أن يصبح منقذًا حقيقيًا لحل العديد من المشكلات ، خاصةً من الميدانالتوافقية. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن استخدامه لحل العديد من الألغاز المتعلقة بالفركتلات.
