الرياضيات تنبع من العصور القديمة. بفضلها ، أعطت الهندسة المعمارية والبناء والعلوم العسكرية جولة جديدة من التطور ، وأدت الإنجازات التي تم الحصول عليها بمساعدة الرياضيات إلى حركة التقدم. حتى يومنا هذا ، لا تزال الرياضيات هي العلم الرئيسي الموجود في جميع الفروع الأخرى.
من أجل التعلم ، يبدأ الأطفال من الصف الأول في الاندماج تدريجياً في هذه البيئة. من المهم جدًا فهم الرياضيات ، لأنها ، بدرجة أو بأخرى ، تحدث لكل شخص طوال حياته. ستحلل هذه المقالة أحد العناصر الأساسية - إيجاد المشتقات وتطبيقها. لا يمكن لأي شخص أن يتخيل مدى انتشار استخدام هذا المفهوم. فكر في أكثر من 10 تطبيقات للمشتقات في مجالات أو علوم معينة.
تطبيق المشتق على دراسة دالة
المشتق مثل هذا الحدنسبة زيادة دالة إلى زيادة وسيطتها عندما يميل الأس الوسيطة إلى الصفر. المشتق شيء لا غنى عنه في دراسة الوظيفة. على سبيل المثال ، يمكن استخدامه لتحديد الزيادة والنقصان في الأخير ، والقصر الأقصى ، والتحدب والتقعر. تم تضمين حساب التفاضل في المناهج الإجبارية لطلاب السنة الأولى والثانية من جامعات الرياضيات.
أصفار النطاق والوظيفة
تبدأ المرحلة الأولى من أي دراسة للرسم البياني باكتشاف مجال التعريف ، في حالات نادرة - القيمة. يتم تعيين مجال التعريف على طول محور الإحداثي ، بمعنى آخر ، هذه قيم عددية على محور OX. غالبًا ما يتم تعيين النطاق بالفعل ، ولكن إذا لم يكن كذلك ، فيجب تقييم قيمة وسيطة x. لنفترض ، إذا كانت الوظيفة غير منطقية لبعض قيم الوسيطة ، فسيتم استبعاد هذه الوسيطة من النطاق.
تم العثور على أصفار الوظيفة بطريقة بسيطة: يجب أن تكون الوظيفة f (x) مساوية للصفر ويجب حل المعادلة الناتجة فيما يتعلق بمتغير واحد x. جذور المعادلة التي تم الحصول عليها هي أصفار الوظيفة ، أي في هذه x تكون الوظيفة 0.
زيادة و إنقاص
يمكن اعتبار استخدام المشتق لدراسة وظائف الرتابة من موضعين. الوظيفة الرتيبة هي فئة تحتوي فقط على قيم موجبة للمشتق ، أو تحتوي على قيم سالبة فقط. بكلمات بسيطة ، تزيد الوظيفة أو تنقص فقط خلال الفترة الزمنية بأكملها قيد الدراسة:
- زيادة المعلمة. وظيفةستزيد f (x) إذا كان مشتق f` (x) أكبر من الصفر.
- معامل تنازلي. ستنخفض الدالة f (x) إذا كان مشتق f` (x) أقل من الصفر.
الظل والمنحدر
تطبيق المشتق على دراسة دالة يتم تحديده أيضًا بواسطة الظل (الخط المستقيم الموجه بزاوية) على الرسم البياني للدالة عند نقطة معينة. الظل عند نقطة (x0) - خط يمر عبر نقطة وينتمي إلى الوظيفة التي إحداثياتها (x0 ، f (x0 )) ولها منحدر f` (x0 ).
y=f (x0) + f` (x0) (x - x0) - معادلة المماس لنقطة معينة من الرسم البياني للوظيفة.
المعنى الهندسي للمشتق: مشتق الدالة f (x) يساوي ميل المماس المتشكل للرسم البياني لهذه الوظيفة عند نقطة معينة x. المعامل الزاوي ، بدوره ، يساوي ظل زاوية ميل الظل إلى محور OX (حدودي) في الاتجاه الموجب. هذه النتيجة الطبيعية أساسية لتطبيق المشتق على الرسم البياني للدالة.
نقاط اكستريموم
تطبيق مشتق على دراسة يتضمن إيجاد نقاط عالية ومنخفضة.
للعثور على الحد الأدنى والحد الأقصى من النقاط وتحديدها ، يجب عليك:
- أوجد مشتق الدالة f (x).
- اضبط المعادلة الناتجة على صفر.
- أوجد جذور المعادلة.
- البحث عن النقاط العالية والمنخفضة.
للعثور على التطرفالميزات:
- أوجد الحد الأدنى والحد الأقصى من النقاط باستخدام الطريقة أعلاه.
- استبدل هذه النقاط في المعادلة الأصلية وحساب ymaxو ymin
النقطة القصوى للدالة هي أكبر قيمة للدالة f (x) على الفاصل الزمني ، بمعنى آخر xmax.
النقطة الدنيا للدالة هي أصغر قيمة للدالة f (x) على الفاصل الزمني ، بمعنى آخر xname
نقاط Extremum هي نفسها الحد الأقصى والحد الأدنى للنقاط ، والحد الأقصى للوظيفة (ymax. وyالحد الأدنى) - قيم الوظيفة التي تتوافق مع النقاط القصوى.
التحدب والتقعر
يمكنك تحديد التحدب والتقعر باللجوء إلى استخدام المشتق للتخطيط:
- تكون الدالة f (x) التي تم فحصها على الفاصل الزمني (أ ، ب) مقعرة إذا كانت الوظيفة تقع أسفل جميع مماساتها خلال هذه الفترة.
- الوظيفة f (x) التي تمت دراستها في الفترة (أ ، ب) تكون محدبة إذا كانت الوظيفة موجودة فوق كل ظلها داخل هذه الفترة.
النقطة التي تفصل بين التحدب والتقعر تسمى نقطة انعطاف الوظيفة.
للعثور على نقاط الانعطاف:
- أوجد النقاط الحرجة من النوع الثاني (المشتق الثاني).
- نقاط الانعطاف هي تلك النقاط الحرجة التي تفصل بين علامتين متعارضتين.
- حساب قيم الدالة عند نقاط انعطاف الوظيفة.
المشتقات الجزئية
تطبيقهناك مشتقات من هذا النوع في المسائل حيث يتم استخدام أكثر من متغير واحد غير معروف. في أغلب الأحيان ، تتم مصادفة مثل هذه المشتقات عند رسم رسم بياني للوظائف ، بشكل أكثر دقة ، الأسطح في الفضاء ، حيث بدلاً من محورين هناك ثلاثة ، وبالتالي ، ثلاث كميات (متغيران وثابت واحد).
القاعدة الأساسية عند حساب المشتقات الجزئية هي اختيار متغير واحد والتعامل مع الباقي كثوابت. لذلك ، عند حساب المشتق الجزئي ، يصبح الثابت كما لو كان قيمة عددية (في العديد من جداول المشتقات ، يُشار إليها على أنها C=const). معنى هذا المشتق هو معدل تغير الوظيفة z=f (x ، y) على طول محوري OX و OY ، أي أنه يميز انحدار المنخفضات وانتفاخات السطح المشيد.
مشتق في الفيزياء
استخدام المشتق في الفيزياء واسع الانتشار ومهم. المعنى المادي: مشتق المسار بالنسبة للوقت هو السرعة ، والتسارع هو مشتق السرعة بالنسبة للوقت. من المعنى المادي ، يمكن رسم العديد من الفروع إلى مختلف فروع الفيزياء ، مع الحفاظ تمامًا على معنى المشتق.
بمساعدة المشتق ، تم العثور على القيم التالية:
- السرعة في علم الحركة ، حيث يتم حساب مشتق المسافة المقطوعة. إذا تم إيجاد المشتق الثاني للمسار أو المشتق الأول للسرعة ، فعندئذٍ يتم إيجاد تسارع الجسم. بالإضافة إلى ذلك ، من الممكن إيجاد السرعة اللحظية لنقطة مادية ، ولكن لهذا من الضروري معرفة الزيادة ∆t و ∆r.
- في الديناميكا الكهربائية:حساب القوة اللحظية للتيار المتردد ، وكذلك EMF للحث الكهرومغناطيسي. بحساب المشتق ، يمكنك إيجاد القوة القصوى. مشتق مقدار الشحنة الكهربائية هو القوة الحالية في الموصل.
مشتق في الكيمياء والبيولوجيا
الكيمياء: يستخدم المشتق لتحديد معدل التفاعل الكيميائي. المعنى الكيميائي للمشتق: الوظيفة p=p (t) ، في هذه الحالة p هي كمية المادة التي تدخل في تفاعل كيميائي في الوقت t. ∆t - زيادة الوقت ، ∆p - زيادة كمية المادة. يُطلق على حد نسبة ∆p إلى t ، والتي عندها ∆t تميل إلى الصفر ، معدل التفاعل الكيميائي. متوسط قيمة التفاعل الكيميائي هو النسبة ∆p / t. عند تحديد السرعة ، من الضروري أن تعرف بالضبط جميع المعلمات والظروف اللازمة لمعرفة الحالة الإجمالية للمادة ووسط التدفق. هذا جانب كبير إلى حد ما في الكيمياء ، والذي يستخدم على نطاق واسع في مختلف الصناعات والأنشطة البشرية.
علم الأحياء: يستخدم مفهوم المشتق لحساب متوسط معدل التكاثر. المعنى البيولوجي: لدينا دالة y=x (t). ∆t - زيادة الوقت. بعد ذلك ، بمساعدة بعض التحولات ، نحصل على الوظيفة y`=P (t)=x` (t) - النشاط الحيوي لمجتمع الوقت t (متوسط معدل التكاثر). يتيح لك استخدام هذا المشتق الاحتفاظ بالإحصائيات وتتبع معدل التكاثر وما إلى ذلك.
مشتق في الجغرافيا والاقتصاد
المشتق يسمح للجغرافيين باتخاذ القرارمهام مثل العثور على السكان ، وحساب القيم في علم الزلازل ، وحساب النشاط الإشعاعي للمؤشرات الجيوفيزيائية النووية ، وحساب الاستيفاء.
في علم الاقتصاد ، يعتبر حساب التفاضل وحساب المشتق جزءًا مهمًا من الحسابات. بادئ ذي بدء ، هذا يسمح لنا بتحديد حدود القيم الاقتصادية الضرورية. على سبيل المثال ، أعلى وأدنى إنتاجية العمالة والتكاليف والأرباح. في الأساس ، يتم حساب هذه القيم من الرسوم البيانية للوظائف ، حيث تجد القيم القصوى ، تحدد رتابة الوظيفة في المنطقة المرغوبة.
الخلاصة
دور هذا الحساب التفاضلي متضمن ، كما هو مذكور في المقالة ، في الهياكل العلمية المختلفة. يعد استخدام الوظائف المشتقة عنصرًا مهمًا في الجزء العملي من العلم والإنتاج. لم يكن من قبيل العبث أننا تعلمنا في المدرسة الثانوية والجامعة لبناء الرسوم البيانية المعقدة واستكشاف الوظائف والعمل عليها. كما ترى ، بدون المشتقات والحسابات التفاضلية ، سيكون من المستحيل حساب المؤشرات والكميات الحيوية. لقد تعلمت البشرية نمذجة العمليات المختلفة واستكشافها ، لحل المشكلات الرياضية المعقدة. في الواقع ، الرياضيات هي ملكة كل العلوم ، لأن هذا العلم يكمن وراء جميع التخصصات الطبيعية والتقنية الأخرى.
