يدرس موضوع "التقدم الحسابي" في مقرر الجبر العام في مدارس الصف التاسع. هذا الموضوع مهم لمزيد من الدراسة المتعمقة لرياضيات سلسلة الأعداد. في هذه المقالة سوف نتعرف على التقدم الحسابي واختلافه وكذلك المهام النموذجية التي قد يواجهها تلاميذ المدارس.
مفهوم التقدم الجبري
التقدم الرقمي هو سلسلة من الأرقام يمكن من خلالها الحصول على كل عنصر لاحق من العنصر السابق ، إذا تم تطبيق قانون رياضي. هناك نوعان بسيطان من التقدم: هندسي وحسابي ، وهو ما يسمى أيضًا بالجبر. دعونا نتناولها بمزيد من التفصيل.
دعونا نتخيل بعض الأرقام المنطقية ، ونشير إليها بالرمز1، حيث يشير الفهرس إلى الرقم الترتيبي في السلسلة قيد الدراسة. دعنا نضيف رقمًا آخر إلى1، فلنشير إليه د. ثم الثانيةيمكن أن ينعكس عنصر من سلسلة على النحو التالي: أ2=أ1+ د. أضف الآن d مرة أخرى ، نحصل على: a3=a2+ d. استمرارًا لهذه العملية الحسابية ، يمكنك الحصول على سلسلة كاملة من الأرقام ، والتي ستسمى بالتقدم الحسابي.
كما يمكن فهمه مما سبق ، للعثور على العنصر n من هذا التسلسل ، يجب عليك استخدام الصيغة: a =a1 + (ن -1)د. في الواقع ، باستبدال n=1 في التعبير ، نحصل على1=a1، إذا كان n=2 ، فإن الصيغة تعني: a2=أ1+ 1د ، وهكذا.
على سبيل المثال ، إذا كان الفرق في التقدم الحسابي هو 5 ، و1=1 ، فهذا يعني أن سلسلة الأرقام من النوع المعني تبدو كما يلي: 1 ، 6 ، 11 ، 16 ، 21 ، … كما ترى ، كل مصطلح من شروطه أكبر من السابق بمقدار 5.
صيغ اختلاف التقدم الحسابي
من التعريف أعلاه لسلسلة الأرقام المدروسة ، يتبع ذلك لتحديدها ، تحتاج إلى معرفة رقمين: أ1و د. هذا الأخير يسمى اختلاف هذا التقدم. إنه يحدد بشكل فريد سلوك السلسلة بأكملها. في الواقع ، إذا كانت d موجبة ، فإن سلسلة الأرقام ستزداد باستمرار ، على العكس من ذلك ، في حالة سالب d ، ستزيد الأرقام في السلسلة فقط ، بينما ستنخفض قيمتها المطلقة مع زيادة العدد n.
ما هو الفرق في التقدم الحسابي؟ ضع في اعتبارك الصيغتين الرئيسيتين المستخدمتين لحساب هذه القيمة:
- د=أn + 1-a ، هذه الصيغة تتبع مباشرة من تعريف سلسلة الأرقام المعنية.
- d=(-a1+ a ) / (n-1) ، يتم الحصول على هذا التعبير بالتعبير عن d من الصيغة المعطاة في الفقرة السابقة من المقال. لاحظ أن هذا التعبير يصبح غير محدد (0/0) إذا كان n=1. هذا يرجع إلى حقيقة أنه من الضروري معرفة عنصرين على الأقل من السلسلة لتحديد اختلافها.
تستخدم هاتان الصيغتان الأساسيتان لحل أي مشكلة تتعلق بإيجاد فرق التقدم. ومع ذلك ، هناك معادلة أخرى تحتاج أيضًا إلى معرفتها.
مجموع العناصر الأولى
الصيغة التي يمكن استخدامها لتحديد مجموع أي عدد من أعضاء التقدم الجبري ، وفقًا للأدلة التاريخية ، حصل عليها أولاً "أمير" الرياضيات في القرن الثامن عشر ، كارل جاوس. لاحظ عالم ألماني ، بينما كان لا يزال صبيًا في الصفوف الابتدائية لمدرسة القرية ، أنه من أجل إضافة الأعداد الطبيعية في السلسلة من 1 إلى 100 ، يجب عليك أولاً جمع العنصر الأول والأخير (ستكون القيمة الناتجة متساوية لمجموع العناصر قبل الأخيرة والثانية وقبل الأخيرة والثالثة وهكذا) ، ثم يجب ضرب هذا الرقم في عدد هذه المبالغ ، أي بمقدار 50.
الصيغة التي تعكس النتيجة المذكورة في مثال معين يمكن تعميمها على حالة تعسفية. سيبدو كما يلي: S =n / 2(a + a1). لاحظ أنه من أجل العثور على القيمة المحددة ، لا يلزم معرفة الفرق d ،إذا كان معروفا شرطان من التقدم (أ و1).
مثال1. أوجد الفرق ، مع معرفة حدي المتسلسلة a1 و
دعونا نوضح كيفية تطبيق الصيغ المذكورة أعلاه في المقالة. دعنا نعطي مثالًا بسيطًا: الفرق في التقدم الحسابي غير معروف ، من الضروري تحديد ما سيكون مساويًا إذا كان13=-5 و 6 و1=-12 ، 1.
بما أننا نعرف قيم عنصري التسلسل العددي ، أحدهما هو الرقم الأول ، يمكننا استخدام الصيغة رقم 2 لتحديد الفرق د. لدينا: d=(- 1(- 12، 1) + (- 5، 6)) / 12=0. 54167. في التعبير ، استخدمنا القيمة n=13 ، لأن العضو الذي يحمل هذا الرقم التسلسلي هو معروف.
يشير الاختلاف الناتج إلى أن التقدم آخذ في الازدياد ، على الرغم من حقيقة أن العناصر الواردة في حالة المشكلة لها قيمة سالبة. يمكن ملاحظة أن13>a1، على الرغم من | a13| < | a1|.
مثال2. الأعضاء الإيجابيون في التقدم في المثال1
لنستخدم النتيجة التي تم الحصول عليها في المثال السابق لحل مشكلة جديدة. تمت صياغته على النحو التالي: من أي رقم تسلسلي تبدأ عناصر التقدم في المثال رقم 1 في أخذ قيم موجبة؟
كما هو موضح ، التقدم الذي يكون فيه1=-12 ، 1 و d=0. 54167 يتزايد ، لذا من بعض الأرقام ستبدأ الأرقام في اتخاذ إيجابية فقط القيم. لتحديد هذا العدد n ، يتعين على المرء أن يحل متباينة بسيطة ، وهيمكتوبًا رياضيًا على النحو التالي: a >0 أو ، باستخدام الصيغة المناسبة ، نعيد كتابة عدم المساواة: a1+ (n-1)d>0. من الضروري إيجاد المجهول n ، فلنعبر عنه: n>-1a1/ d + 1. الآن يبقى استبدال القيم المعروفة للاختلاف والعضو الأول من التسلسل. نحصل على: n>-1(- 12، 1) / 0، 54167 + 1=23، 338 أو n>23، 338. نظرًا لأن n يمكن أن يأخذ قيمًا صحيحة فقط ، فإنه يتبع من المتباينة الناتجة أن أي عنصر من المتسلسلة سوف إذا كان الرقم أكبر من 23 فسيكون موجبًا.
تحقق من إجابتك باستخدام الصيغة أعلاه لحساب العنصرين 23 و 24 من هذا التقدم الحسابي. لدينا: أ23=- 12 ، 1 + 220 ، 54167=-0 ، 18326 (رقم سالب) ؛ a24=- 12، 1 + 230. 54167=0. 3584 (قيمة موجبة). وبالتالي ، فإن النتيجة التي تم الحصول عليها صحيحة: بدءًا من n=24 ، سيكون جميع أعضاء سلسلة الأرقام أكبر من الصفر.
مثال3. كم عدد السجلات التي تناسب؟
دعونا نعطي مشكلة غريبة واحدة: أثناء التسجيل ، تقرر تكديس جذوع الأشجار المنشورة فوق بعضها البعض كما هو موضح في الشكل أدناه. كم عدد السجلات التي يمكن تكديسها بهذه الطريقة ، مع العلم أن 10 صفوف ستناسب المجموع؟
بهذه الطريقة لتكديس السجلات ، يمكنك ملاحظة شيء واحد مثير للاهتمام: كل صف لاحق سيحتوي على سجل أقل من السابق ، أي أن هناك تقدمًا جبريًا ، والفرق بينهما هو d=1. بافتراض أن عدد السجلات في كل صف هو عضو في هذا التقدم ،ونظرًا أيضًا إلى أن1=1 (فقط سجل واحد يناسب القمة) ، نجد الرقم10. لدينا: a10=1 + 1(10-1)=10. أي في الصف العاشر ، الذي يقع على الأرض ، سيكون هناك 10 سجلات.
يمكن الحصول على المبلغ الإجمالي لهذا البناء "الهرمي" باستخدام صيغة غاوس. نحصل على: S10=10/2(10 + 1)=55 سجلًا.
