في المقالة التي نلفت انتباهك ، نقدم أمثلة على النماذج الرياضية. بالإضافة إلى ذلك ، سوف نولي اهتمامًا لمراحل إنشاء النماذج وتحليل بعض المهام المرتبطة بالنمذجة الرياضية.
أحد أسئلتنا الأخرى يتعلق بالنماذج الرياضية في الاقتصاد ، أمثلة ، تعريفها الذي سننظر فيه بعد قليل. نقترح أن نبدأ حديثنا بمفهوم "النموذج" ذاته ، ونفكر بإيجاز في تصنيفها وننتقل إلى أسئلتنا الرئيسية.
مفهوم "النموذج"
كثيرا ما نسمع كلمة "نموذج". ما هذا؟ هذا المصطلح له تعريفات عديدة ، وهنا ثلاثة منها فقط:
- كائن محدد يتم إنشاؤه لتلقي وتخزين المعلومات ، ويعكس بعض الخصائص أو الخصائص ، وما إلى ذلك ، من أصل هذا الكائن (يمكن التعبير عن هذا الكائن المحدد بأشكال مختلفة: عقلي ، وصف باستخدام العلامات ، وهكذا) ؛
- نموذج يعني أيضًا عرض أي موقف أو حياة أوإداري ؛
- نموذج يمكن أن يكون بمثابة نسخة مصغرة من أي كائن (تم إنشاؤها لدراسة وتحليل أكثر تفصيلاً ، حيث يعكس النموذج الهيكل والعلاقات).
بناءً على كل ما قيل سابقًا ، يمكننا استخلاص نتيجة صغيرة: يتيح لك النموذج دراسة نظام معقد أو كائن بالتفصيل.
يمكن تصنيف جميع النماذج وفقًا لعدد من المعايير:
- حسب مجال الاستخدام (تعليمي ، تجريبي ، علمي وتقني ، ألعاب ، محاكاة) ؛
- بالديناميات (ثابت وديناميكي) ؛
- حسب فرع المعرفة (الفيزيائية والكيميائية والجغرافية والتاريخية والاجتماعية والاقتصادية والرياضية) ؛
- عن طريق العرض (المادي والإعلامي).
نماذج المعلومات ، بدورها ، مقسمة إلى إشارة ولفظية. ومبدع - على الكمبيوتر وغير الكمبيوتر. الآن دعنا ننتقل إلى دراسة تفصيلية لأمثلة نموذج رياضي.
النموذج الرياضي
كما قد تتخيل ، يعكس النموذج الرياضي بعض ميزات كائن أو ظاهرة باستخدام رموز رياضية خاصة. الرياضيات ضرورية لنمذجة أنماط العالم المحيط بلغته الخاصة.
نشأت طريقة النمذجة الرياضية منذ زمن بعيد ، منذ آلاف السنين ، إلى جانب ظهور هذا العلم. ومع ذلك ، فإن الدافع لتطوير طريقة النمذجة هذه تم إعطاؤه من خلال ظهور أجهزة الكمبيوتر (أجهزة الكمبيوتر الإلكترونية).
الآن دعنا ننتقل إلى التصنيف. يمكن أيضًا إجراؤها وفقًا لبعض العلامات. هم انهممعروضة في الجدول أدناه.
| التصنيف حسب فرع العلم |
تطبيق النماذج الرياضية في الفيزياء وعلم الاجتماع والكيمياء وما إلى ذلك |
| حسب الجهاز الرياضي المستخدم في عملية النمذجة | نماذج مبنية على المعادلات التفاضلية والتحويلات الجبرية المنفصلة وما شابه ذلك |
| بنمذجة الأهداف | وفقًا لهذا المبدأ ، هناك نماذج وصفية ، وتحسين ، ومعايير متعددة ، ولعبة ومحاكاة |
نقترح التوقف وإلقاء نظرة فاحصة على التصنيف الأخير ، لأنه يعكس الأنماط العامة للنمذجة وأهداف النماذج التي يتم إنشاؤها.
نماذج وصفية
في هذا الفصل ، نقترح الخوض في مزيد من التفاصيل حول النماذج الرياضية الوصفية. من أجل توضيح كل شيء ، سيتم إعطاء مثال.
بادئ ذي بدء ، يمكن تسمية هذا العرض بالوصف. هذا يرجع إلى حقيقة أننا نقوم فقط بإجراء الحسابات والتنبؤات ، لكن لا يمكننا التأثير على نتيجة الحدث بأي شكل من الأشكال.
أحد الأمثلة الصارخة للنموذج الرياضي الوصفي هو حساب مسار الرحلة والسرعة والمسافة من الأرض لمذنب غزا اتساع نظامنا الشمسي. هذا النموذج وصفي ، لأن جميع النتائج التي تم الحصول عليها لا يمكن إلا أن تحذرنا من نوع من الخطر. التأثير على نتيجة الحدث ، للأسف ، نحن لا نفعل ذلكتستطيع. ومع ذلك ، بناءً على الحسابات التي تم الحصول عليها ، من الممكن اتخاذ أي تدابير لإنقاذ الحياة على الأرض.
نماذج التحسين
الآن سنتحدث قليلاً عن النماذج الاقتصادية والرياضية ، والأمثلة التي يمكن أن تكون مواقف مختلفة. في هذه الحالة ، نتحدث عن النماذج التي تساعد في العثور على الإجابة الصحيحة في ظروف معينة. يجب أن يكون لديهم بعض المعلمات. لتوضيح الأمر تمامًا ، ضع في اعتبارك مثالًا من الجزء الزراعي.
لدينا صومعة ، لكن الحبوب تفسد بسرعة كبيرة. في هذه الحالة ، نحتاج إلى اختيار نظام درجة الحرارة المناسب وتحسين عملية التخزين.
وهكذا يمكننا تحديد مفهوم "نموذج التحسين". بالمعنى الرياضي ، هذا نظام معادلات (خطي وغير خطي) ، يساعد حله في إيجاد الحل الأمثل في حالة اقتصادية معينة. لقد درسنا مثالًا للنموذج الرياضي (التحسين) ، لكني أود أن أضيف: هذا النوع ينتمي إلى فئة المشاكل الشديدة ، فهي تساعد في وصف أداء النظام الاقتصادي.
لاحظ فارقًا بسيطًا آخر: يمكن أن تكون النماذج ذات طبيعة مختلفة (انظر الجدول أدناه).
| حتمية | في هذه الحالة تعتمد النتيجة على بيانات الإدخال |
| مؤشر ستوكاستيك |
وصف العمليات العشوائية. في هذه الحالة تبقى النتيجة غير محددة |
نماذج متعددة المعايير
الآن ندعوك للحديث قليلا عننموذج رياضي للتحسين متعدد الأهداف. قبل ذلك ، قدمنا مثالًا لنموذج رياضي لتحسين عملية وفقًا لأي معيار واحد ، ولكن ماذا لو كان هناك الكثير منهم؟
مثال صارخ على مهمة متعددة المعايير هو تنظيم التغذية السليمة والصحية والاقتصادية في نفس الوقت لمجموعات كبيرة من الناس. غالبًا ما توجد مثل هذه المهام في الجيش والمقاصف المدرسية والمعسكرات الصيفية والمستشفيات وما إلى ذلك.
ما هي المعايير التي قدمناها في هذه المشكلة؟
- الغذاء يجب ان يكون صحيا
- يجب أن يبقى الإنفاق على الطعام عند الحد الأدنى.
كما ترى فإن هذه الأهداف لا تتوافق إطلاقاً. هذا يعني أنه عند حل مشكلة ما ، من الضروري البحث عن الحل الأمثل ، وهو التوازن بين معيارين.
نماذج الألعاب
بالحديث عن نماذج اللعبة ، من الضروري فهم مفهوم "نظرية اللعبة". ببساطة ، تعكس هذه النماذج نماذج رياضية لصراعات حقيقية. فقط كن على علم بأنه ، على عكس الصراع الحقيقي ، فإن النموذج الرياضي للعبة له قواعده الخاصة.
الآن سيكون هناك حد أدنى من المعلومات من نظرية اللعبة التي ستساعدك على فهم ماهية نموذج اللعبة. وهكذا ، في النموذج هناك بالضرورة أطراف (طرفان أو أكثر) ، والتي تسمى عادةً لاعبين.
جميع النماذج لها بعض الخصائص
| الموضوعات | عدد اللاعبين |
| استراتيجية | خيارات للإجراءات الممكنة |
| الدفع | نتيجة الصراع (فوز أو خسارة). |
نموذج اللعبة يمكن أن يقترن أو متعدد. إذا كان لدينا موضوعان ، فسيتم إقران الصراع ، إذا كان أكثر - متعدد. يمكن أيضًا تمييز لعبة معادية ، وتسمى أيضًا لعبة محصلتها صفر. هذا نموذج يكون فيه مكاسب أحد المشاركين مساوية لخسارة الآخر.
نماذج المحاكاة
في هذا القسم ، سوف ننتبه إلى محاكاة النماذج الرياضية. أمثلة على المهام هي:
- نموذج لديناميكيات عدد الكائنات الحية الدقيقة ؛
- نموذج لحركة الجزيئات وهكذا
في هذه الحالة ، نحن نتحدث عن نماذج قريبة قدر الإمكان من العمليات الحقيقية. بشكل عام ، هم يقلدون أي مظهر من مظاهر الطبيعة. في الحالة الأولى ، على سبيل المثال ، يمكننا نمذجة ديناميكيات عدد النمل في مستعمرة واحدة. في هذه الحالة ، يمكنك مراقبة مصير كل فرد. في هذه الحالة ، نادرًا ما يتم استخدام الوصف الرياضي ، وغالبًا ما توجد شروط مكتوبة:
- بعد خمسة أيام تضع الأنثى البيض ؛
- بعد 20 يومًا تموت النملة ، وهكذا
وهكذا ، تستخدم نماذج المحاكاة لوصف نظام كبير. الاستنتاج الرياضي هو معالجة البيانات الإحصائية المستلمة
المتطلبات
مهم جدااعلم أن هناك بعض المتطلبات لهذا النوع من النماذج ، من بينها تلك الواردة في الجدول أدناه.
| براعة | تسمح لك هذه الخاصية باستخدام نفس النموذج عند وصف مجموعات من الكائنات من نفس النوع. من المهم ملاحظة أن النماذج الرياضية العالمية مستقلة تمامًا عن الطبيعة الفيزيائية للكائن قيد الدراسة |
| كفاية | من المهم أن نفهم هنا أن هذه الخاصية تسمح لك بإعادة إنتاج العمليات الحقيقية بأكبر قدر ممكن من الدقة. في مشاكل التشغيل ، تعتبر خاصية النمذجة الرياضية هذه مهمة جدًا. مثال على النموذج هو عملية تحسين استخدام نظام الغاز. في هذه الحالة ، تتم مقارنة المؤشرات المحسوبة والفعلية ، ونتيجة لذلك ، يتم التحقق من صحة النموذج المترجم |
| دقة | يشير هذا المطلب إلى مصادفة القيم التي نحصل عليها عند حساب النموذج الرياضي ومعلمات الإدخال لكائننا الحقيقي |
| الاقتصاد | يتميز مطلب الفعالية من حيث التكلفة لأي نموذج رياضي بتكاليف التنفيذ. إذا تم تنفيذ العمل مع النموذج يدويًا ، فمن الضروري حساب مقدار الوقت الذي سيستغرقه حل مشكلة واحدة باستخدام هذا النموذج الرياضي. إذا كنا نتحدث عن التصميم بمساعدة الكمبيوتر ، فسيتم حساب مؤشرات تكلفة الوقت وذاكرة الكمبيوتر |
مراحلالنمذجة
إجمالاً ، من المعتاد التمييز بين أربع مراحل في النمذجة الرياضية.
- صياغة القوانين التي تربط أجزاء النموذج.
- بحث في المسائل الرياضية.
- توضيح مصادفة النتائج العملية و النظرية
- تحليل وتحديث النموذج
النموذج الاقتصادي والرياضي
في هذا القسم ، سنسلط الضوء بإيجاز على قضية النماذج الاقتصادية والرياضية. أمثلة على المهام هي:
- تشكيل برنامج إنتاج لإنتاج منتجات اللحوم ، وضمان أقصى ربح للإنتاج ؛
- تعظيم ربح المؤسسة من خلال حساب العدد الأمثل للطاولات والكراسي التي سيتم إنتاجها في مصنع أثاث ، وهكذا.
يعرض النموذج الاقتصادي الرياضي تجريدًا اقتصاديًا ، يتم التعبير عنه باستخدام المصطلحات والعلامات الرياضية.
النموذج الرياضي للكمبيوتر
أمثلة على نموذج رياضي للكمبيوتر هي:
- مشاكل الهيدروليكا باستخدام المخططات الانسيابية والمخططات والجداول وما إلى ذلك ؛
- مشاكل في الميكانيكا الصلبة ، وما إلى ذلك.
نموذج الكمبيوتر هو صورة لكائن أو نظام مقدم على النحو التالي:
- طاولات ؛
- مخططات انسيابية ؛
- الرسوم البيانية ؛
- رسومات وهكذا
في نفس الوقت ، يعكس هذا النموذج هيكل وترابط النظام.
بناء نموذج اقتصادي رياضي
لقد تحدثنا بالفعل عن ماهية اقتصاديةنموذج رياضي. سيتم النظر في مثال لحل المشكلة في الوقت الحالي. نحتاج إلى تحليل برنامج الإنتاج لتحديد الاحتياطي لزيادة الأرباح مع تحول في التشكيلة.
لن نفكر في المشكلة بشكل كامل ، لكننا نبني فقط نموذجًا اقتصاديًا ورياضيًا. معيار مهمتنا هو تعظيم الربح. ثم يكون للوظيفة الشكل: Л=р1х1 + р2х2 … تميل إلى الحد الأقصى. في هذا النموذج ، p هو الربح لكل وحدة ، x هو عدد الوحدات المنتجة. علاوة على ذلك ، بناءً على النموذج المركب ، من الضروري إجراء الحسابات والتلخيص.
مثال على بناء نموذج رياضي بسيط
مهمة. عاد الصياد بالمصيد التالي:
- 8 الأسماك - سكان البحار الشمالية ؛
- 20٪ من المصيد - سكان البحار الجنوبية ؛
- لم يتم العثور على سمكة واحدة من النهر المحلي.
كم عدد الأسماك التي اشتراها من المتجر؟
إذن ، مثال على بناء نموذج رياضي لهذه المشكلة هو كما يلي. نشير إلى العدد الإجمالي للأسماك كـ x. بعد الحالة ، يمثل 0.2x عدد الأسماك التي تعيش في خطوط العرض الجنوبية. الآن نجمع كل المعلومات المتاحة ونحصل على النموذج الرياضي للمسألة: x=0، 2x + 8. نحل المعادلة ونحصل على إجابة السؤال الرئيسي: اشترى 10 سمكات في المتجر
