مثلث ، مربع ، مسدس - هذه الأشكال معروفة للجميع تقريبًا. لكن لا يعرف الجميع ما هو المضلع المنتظم. لكن هذه كلها نفس الأشكال الهندسية. المضلع المنتظم هو المضلع الذي له زوايا وجوانب متساوية. هناك الكثير من هذه الأشكال ، لكن جميعها لها نفس الخصائص ، وتنطبق عليها نفس الصيغ.
خصائص المضلعات المنتظمة
أي مضلع منتظم ، سواء كان مربعًا أو مثمنًا ، يمكن كتابته في دائرة. غالبًا ما تُستخدم هذه الخاصية الأساسية عند تكوين الشكل. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن أيضًا كتابة دائرة في شكل مضلع. في هذه الحالة ، سيكون عدد نقاط الاتصال مساويًا لعدد جوانبها. من المهم أن يكون للدائرة المدرجة في مضلع منتظم مركز مشترك معها. تخضع هذه الأشكال الهندسية لنفس النظريات. أي جانبمن n-gon المنتظم مرتبط بنصف قطر الدائرة المحصورة حوله ، لذلك يمكن حسابه باستخدام الصيغة التالية: a=2R ∙ sin180 °. من خلال نصف قطر الدائرة ، لا يمكنك العثور على الجوانب فحسب ، بل يمكنك أيضًا العثور على محيط المضلع.
كيفية إيجاد عدد أضلاع المضلع المنتظم
أي نظام n-gon يتكون من عدد معين من المقاطع متساوية مع بعضها البعض ، والتي ، عند الاتصال ، تشكل خطًا مغلقًا. في هذه الحالة ، كل زوايا الشكل المُشكَّل لها نفس القيمة. تنقسم المضلعات إلى بسيطة ومعقدة. تتضمن المجموعة الأولى مثلثًا ومربعًا. المضلعات المعقدة لها جوانب أكثر. وتشمل أيضا شخصيات على شكل نجمة. بالنسبة للمضلعات المنتظمة المعقدة ، يتم العثور على الجوانب من خلال كتابتها في دائرة. دعونا نعطي الدليل. ارسم مضلعًا منتظمًا بعدد عشوائي من الأضلاع n. صف دائرة حوله. حدد نصف القطر R. الآن تخيل أنه تم إعطاء بعض n-gon. إذا كانت نقاط زواياه تقع على دائرة ومتساوية مع بعضها البعض ، فيمكن إيجاد الجانبين بالصيغة: a=2R ∙ sinα: 2.
إيجاد عدد أضلاع مثلث عادي منقوش
المثلث متساوي الأضلاع هو مضلع منتظم. تنطبق نفس الصيغ على المربع و n-gon. يعتبر المثلث صحيحًا إذا كان له نفس ضلوع الطول. في هذه الحالة ، الزوايا هي 60⁰. أنشئ مثلثًا بطول ضلع معطى أ. - معرفة متوسطها وارتفاعها.يمكنك معرفة قيمة جوانبها. للقيام بذلك ، سنستخدم طريقة إيجاد الصيغة a \u003d x: cosα ، حيث x هو الوسيط أو الارتفاع. بما أن كل جوانب المثلث متساوية ، نحصل على أ=ب=ج. عندئذٍ ستكون العبارة التالية صحيحة أ=ب=ج=س: cosα. وبالمثل ، يمكنك إيجاد قيمة الأضلاع في مثلث متساوي الساقين ، لكن x سيكون الارتفاع المعطى. في الوقت نفسه ، يجب أن يتم عرضه بدقة على أساس الشكل. لذا ، بمعرفة الارتفاع س ، نجد الضلع أ في مثلث متساوي الساقين باستخدام الصيغة أ \u003d ب \u003d س: cosα. بعد إيجاد قيمة a ، يمكنك حساب طول القاعدة c. دعنا نطبق نظرية فيثاغورس. سنبحث عن قيمة نصف القاعدة c: 2=√ (x: cosα) ^ 2 - (x ^ 2)=√x ^ 2 (1 - cos ^ 2α): cos ^ 2α=x ∙ tgα. ثم ج=2xtanα. هذه طريقة بسيطة لمعرفة عدد أضلاع أي مضلع منقوش.
احسب جوانب المربع المدرج في دائرة
مثل أي مضلع منتظم منقوش آخر ، المربع له جوانب وزوايا متساوية. تنطبق نفس الصيغ عليه بالنسبة للمثلث. يمكنك حساب جوانب المربع باستخدام قيمة القطر. دعنا نفكر في هذه الطريقة بمزيد من التفصيل. من المعروف أن القطر يشطر الزاوية. في البداية ، كانت قيمتها 90 درجة. وهكذا ، بعد القسمة ، يتم تشكيل مثلثين قائم الزاوية. ستكون زوايا قاعدتهم 45 درجة. وفقًا لذلك ، سيكون كل جانب من المربع متساويًا ، أي: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2 ، حيث e هو قطري المربع ، أو قاعدة تشكل المثلث الأيمن بعد الانقسام. إنها ليست الطريقة الوحيدةإيجاد جوانب المربع. دعونا نكتب هذا الشكل في دائرة. بمعرفة نصف قطر هذه الدائرة R ، نجد ضلع المربع. سنحسبها على النحو التالي a4=R√2. يتم حساب نصف قطر المضلعات المنتظمة بالصيغة R=a: 2tg (360o:2n) ، حيث a هو طول الضلع.
كيفية حساب محيط n-gon
محيط n-gon هو مجموع أضلاعه. من السهل حسابها. للقيام بذلك ، تحتاج إلى معرفة قيم جميع الأطراف. بالنسبة لبعض أنواع المضلعات ، توجد صيغ خاصة. إنها تسمح لك بإيجاد المحيط بشكل أسرع. من المعروف أن أي مضلع منتظم له جوانب متساوية. لذلك ، من أجل حساب محيطه ، يكفي معرفة واحد منهم على الأقل. تعتمد الصيغة على عدد جوانب الشكل. بشكل عام ، يبدو الأمر كما يلي: P \u003d an ، حيث a هي قيمة الضلع ، و n هي عدد الزوايا. على سبيل المثال ، لإيجاد محيط مثمن منتظم ضلع 3 سم ، عليك ضربه في 8 ، أي P=3 ∙ 8=24 سم. للحصول على شكل سداسي أضلاعه 5 سم ، نحسب كالآتي: P=5 ∙ 6=30 سم وهكذا لكل مضلع
إيجاد محيط متوازي أضلاع ومربع ومعين
اعتمادًا على عدد جوانب المضلع المنتظم ، يتم حساب محيطه. هذا يجعل المهمة أسهل بكثير. في الواقع ، على عكس الشخصيات الأخرى ، في هذه الحالة ليس من الضروري البحث عن جميع جوانبها ، يكفي واحد فقط. وفقًا للمبدأ نفسه ، نجد المحيط عندرباعي الزوايا ، أي مربع ومعين. على الرغم من حقيقة أن هذه الأشكال مختلفة ، فإن الصيغة بالنسبة لهم هي نفسها P=4a ، حيث a هو الضلع. لنأخذ مثالا. إذا كان جانب المعين أو المربع 6 سم ، فسنجد المحيط كما يلي: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 سم ، متوازي الأضلاع له جوانب متقابلة فقط. لذلك ، تم إيجاد محيطه بطريقة مختلفة. إذن ، علينا معرفة طول الشكل أ وعرضه ب. ثم نطبق الصيغة P=(a + c) ∙ 2. متوازي الأضلاع ، حيث جميع الأضلاع والزوايا بينها متساوية ، يسمى المعين.
إيجاد محيط مثلث متساوي الأضلاع ومثلث قائم الزاوية
يمكن إيجاد محيط المثلث المنتظم متساوي الأضلاع بالصيغة P=3a ، حيث a هو طول الضلع. إذا كان غير معروف ، فيمكن العثور عليه من خلال الوسيط. في المثلث القائم ، ضلعان فقط متساويان. يمكن إيجاد الأساس من خلال نظرية فيثاغورس. بعد أن أصبحت قيم الأضلاع الثلاثة معروفة ، نحسب المحيط. يمكن العثور عليها من خلال تطبيق الصيغة P \u003d a + b + c ، حيث a و b ضلعان متساويان ، و c هي القاعدة. تذكر أنه في مثلث متساوي الساقين a \u003d b \u003d a ، لذلك ، a + b \u003d 2a ، ثم P \u003d 2a + c. على سبيل المثال ، طول ضلع مثلث متساوي الساقين يساوي 4 سم ، فأوجد قاعدته ومحيطه. نحسب قيمة الوتر باستخدام نظرية فيثاغورس c=√a2+ v2=16 + 16=√32=5.65 سم. الآن نحسب المحيط Р=2 4 + 5، 65=13.65 سم
كيفية إيجاد زوايا المضلع المنتظم
مضلع منتظميحدث في حياتنا كل يوم ، على سبيل المثال ، مربع عادي ، مثلث ، مثمن. يبدو أنه لا يوجد شيء أسهل من بناء هذا الرقم بنفسك. لكن هذا فقط للوهلة الأولى. من أجل بناء أي n-gon ، تحتاج إلى معرفة قيمة زواياه. لكن كيف تجدهم؟ حتى علماء العصور القديمة حاولوا بناء مضلعات منتظمة. لقد خمّنوا أنهم سيضعونهم في دوائر. ثم تم تحديد النقاط الضرورية عليها ، متصلة بخطوط مستقيمة. بالنسبة للأرقام البسيطة ، تم حل مشكلة البناء. تم الحصول على الصيغ والنظريات. على سبيل المثال ، كان إقليدس في عمله الشهير "البداية" منخرطًا في حل المشكلات لمدة 3 و 4 و 5 و 6 و 15 ذرة. وجد طرقًا لبناءها وإيجاد الزوايا. دعونا نرى كيف نفعل هذا لـ 15-gon. تحتاج أولاً إلى حساب مجموع زواياه الداخلية. من الضروري استخدام الصيغة S=180⁰ (n-2). لدينا 15-gon ، مما يعني أن الرقم n هو 15. نعوض بالبيانات التي نعرفها في الصيغة ونحصل على S=180⁰ (15-2)=180⁰ x 13=2340⁰. لقد أوجدنا مجموع كل الزوايا الداخلية لـ 15-gon. الآن نحن بحاجة إلى الحصول على قيمة كل منها. إجمالي عدد الزوايا 15 ، ونجري العملية الحسابية 2340⁰: 15=156⁰. هذا يعني أن كل زاوية داخلية هي 156 درجة ، والآن باستخدام المسطرة والبوصلة ، يمكنك بناء 15-gon منتظم. ولكن ماذا عن n-gons الأكثر تعقيدًا؟ لقرون ، كافح العلماء لحل هذه المشكلة. تم العثور عليها فقط في القرن الثامن عشر من قبل كارل فريدريش جاوس. كان قادرًا على بناء 65537-gon. منذ ذلك الحين ، تم اعتبار المشكلة رسميًا قد تم حلها بالكامل.
حساب زوايا n-gonsبالراديان
بالطبع ، هناك عدة طرق للعثور على زوايا المضلعات. غالبًا ما يتم حسابها بالدرجات. ولكن يمكنك أيضًا التعبير عنها بالتقدير الدائري. كيف افعلها؟ من الضروري المضي قدما على النحو التالي. أولاً ، نحدد عدد أضلاع المضلع المنتظم ، ثم نطرح منه 2 ، لذا نحصل على القيمة: n - 2. اضرب الفرق الموجود في الرقم n ("pi"=3 ، 14). الآن يبقى فقط قسمة المنتج الناتج على عدد الزوايا في n-gon. ضع في اعتبارك هذه الحسابات باستخدام مثال من نفس الجوانب الخمسة عشر. إذن ، الرقم n هو 15. طبق المعادلة S=p (n - 2): n=3 ، 14 (15-2): 15=3 ، 14 ∙ 13: 15=2 ، 72. هذا ، بالطبع ، ليست الطريقة الوحيدة لحساب الزاوية بالتقدير الدائري. يمكنك ببساطة قسمة حجم الزاوية بالدرجات على الرقم 57 ، 3. بعد كل شيء ، هذه الدرجات العديدة تعادل راديان واحد.
احسب قيمة الزوايا بالدرجات
بالإضافة إلى الدرجات والراديان ، يمكنك محاولة إيجاد قيمة زوايا المضلع المنتظم في الخريجين. ويتم ذلك بالطريقة التالية. اطرح 2 من العدد الإجمالي للزوايا ، واقسم الفرق الناتج على عدد أضلاع المضلع المنتظم. نضرب النتيجة التي تم العثور عليها في 200. بالمناسبة ، وحدة قياس الزوايا مثل أحجار البَرَد لا تُستخدم عمليًا.
حساب الزوايا الخارجية لـ n-gons
لأي مضلع عادي ، باستثناء المضلع الداخلي ، يمكنك أيضًا حساب الزاوية الخارجية. تم العثور على قيمتها بنفس الطريقة كما في الأرقام الأخرى. لذا ، فأنت بحاجة لإيجاد الزاوية الخارجية لمضلع منتظمتعرف على معنى الباطن. علاوة على ذلك ، نعلم أن مجموع هاتين الزاويتين يساوي دائمًا 180 درجة. لذلك ، نقوم بالحسابات على النحو التالي: 180 درجة ناقص قيمة الزاوية الداخلية. نجد الفرق. ستكون مساوية لقيمة الزاوية المجاورة لها. على سبيل المثال ، الزاوية الداخلية لمربع هي 90 درجة ، وبالتالي فإن الزاوية الخارجية ستكون 180 درجة - 90 درجة=90 درجة. كما نرى ، ليس من الصعب العثور عليه. يمكن أن تأخذ الزاوية الخارجية قيمة من + 180 درجة إلى -180 درجة على التوالي.
