لفهم ماهية النقاط القصوى للدالة ، ليس من الضروري على الإطلاق معرفة وجود المشتقات الأولى والثانية وفهم معناها المادي. تحتاج أولاً إلى فهم ما يلي:
- وظيفة الحد الأقصى أو ، على العكس من ذلك ، تقليل قيمة الوظيفة في حي صغير بشكل تعسفي ؛
- يجب ألا يكون هناك فاصل دالة عند النقطة القصوى.
والآن هو نفسه ، فقط بلغة واضحة. انظر إلى طرف قلم حبر جاف. إذا تم وضع القلم عموديًا ، مع نهاية الكتابة ، فسيكون منتصف الكرة هو أقصى نقطة - أعلى نقطة. في هذه الحالة نتحدث عن الحد الأقصى. الآن ، إذا قمت بقلب القلم بنهاية الكتابة لأسفل ، فسيكون هناك بالفعل حد أدنى من الوظيفة في منتصف الكرة. بمساعدة الشكل الموضح هنا ، يمكنك تخيل التلاعبات المدرجة في قلم رصاص القرطاسية. لذا ، فإن القيم القصوى للدالة هي دائمًا نقاط حرجة: الحد الأقصى أو الصغرى. يمكن أن يكون القسم المجاور من المخطط حادًا أو سلسًا بشكل تعسفي ، ولكن يجب أن يكون موجودًا على كلا الجانبين ، فقط في هذه الحالة تكون النقطة هي أقصى حد. إذا كان الرسم البياني موجودًا على جانب واحد فقط ، فلن تكون هذه النقطة حدًا أقصى حتى لو كانت على جانب واحديتم استيفاء الشروط القصوى. الآن دعونا ندرس القيم القصوى للدالة من وجهة نظر علمية. من أجل اعتبار نقطة حدًا أقصى ، من الضروري والكافي أن:
- المشتق الأول يساوي صفرًا أو لم يكن موجودًا عند هذه النقطة ؛
- قام المشتق الأول بتغيير علامته عند هذه النقطة
يتم تفسير الشرط بشكل مختلف نوعًا ما عن وجهة نظر المشتقات عالية الرتبة: بالنسبة لدالة قابلة للاشتقاق عند نقطة ما ، يكفي أن يكون هناك مشتق من الترتيب الفردي لا يساوي الصفر ، بينما الكل يجب أن توجد المشتقات ذات الترتيب الأدنى وأن تكون مساوية للصفر. هذا هو أبسط تفسير للنظريات من الكتب المدرسية للرياضيات العليا. لكن بالنسبة لمعظم الناس العاديين ، يجدر شرح هذه النقطة بمثال. الأساس هو قطع مكافئ عادي. قم بإجراء حجز على الفور ، عند نقطة الصفر يكون الحد الأدنى. مجرد القليل من الرياضيات:
- المشتق الأول (X2)|=2X ، لصفر نقطة 2X=0 ؛
- من الثانية (2X)|=2 ، لصفر نقطة 2=2.
مشتق
هذا توضيح بسيط للشروط التي تحدد الحدود القصوى للدالة لكل من المشتقات من الدرجة الأولى والمشتقات عالية الرتبة. يمكننا أن نضيف إلى ذلك أن المشتق الثاني هو نفس المشتق من ترتيب فردي ، غير مساوٍ للصفر ، والذي تمت مناقشته بشكل أكبر قليلاً. عندما يتعلق الأمر بالدالة القصوى لدالة من متغيرين ، يجب استيفاء الشروط لكلا الوسيطتين. متىيحدث التعميم ، ثم يتم استخدام المشتقات الجزئية. أي أنه من الضروري وجود حد أقصى عند نقطة يكون فيها كلا المشتقين من الدرجة الأولى مساوياً للصفر ، أو أن أحدهما على الأقل غير موجود. من أجل كفاية وجود الحد الأقصى ، يتم التحقق من التعبير ، وهو الفرق بين حاصل ضرب المشتقات من الدرجة الثانية ومربع المشتق المختلط من الدرجة الثانية للوظيفة. إذا كان هذا التعبير أكبر من الصفر ، فهناك حد أقصى ، وإذا كان هناك صفر ، فسيظل السؤال مفتوحًا ، وهناك حاجة إلى مزيد من البحث.
