الأسطوانة هي إحدى الأشكال البسيطة ثلاثية الأبعاد التي يتم دراستها في دورة الهندسة المدرسية (قسم الهندسة الصلبة). في هذه الحالة ، غالبًا ما تنشأ المشكلات في حساب حجم وكتلة الأسطوانة ، وكذلك في تحديد مساحة سطحها. يتم إعطاء إجابات على الأسئلة المحددة في هذه المقالة.
ما هي الاسطوانة؟
قبل الشروع في إجابة السؤال ، ما هي كتلة الأسطوانة وحجمها ، يجدر النظر في ماهية هذا الشكل المكاني. وتجدر الإشارة على الفور إلى أن الأسطوانة عبارة عن جسم ثلاثي الأبعاد. أي أنه في الفضاء ، يمكنك قياس ثلاثة من معلماته على طول كل محور في نظام إحداثيات مستطيل ديكارتي. في الواقع ، لتحديد أبعاد الأسطوانة بشكل لا لبس فيه ، يكفي معرفة اثنين فقط من معلماتها.
الأسطوانة عبارة عن شكل ثلاثي الأبعاد يتكون من دائرتين وسطح أسطواني. لتمثيل هذا الكائن بشكل أكثر وضوحًا ، يكفي أخذ مستطيل والبدء في تدويره حول أي جانب من جوانبه ، والذي سيكون محور الدوران. في هذه الحالة ، سيصف المستطيل الدوار الشكلدوران - اسطوانة.
سطحان مستديران يسمى قواعد الاسطوانة ، وتتميزان بنصف قطر معين. المسافة بين القواعد تسمى الارتفاع. القاعدتان مترابطتان بواسطة سطح أسطواني. يسمى الخط المار بمراكز كلتا الدائرتين محور الاسطوانة.
الحجم ومساحة السطح
كما ترى مما سبق ، يتم تحديد الأسطوانة بواسطة معلمتين: الارتفاع h ونصف قطر قاعدتها r. من خلال معرفة هذه المعلمات ، من الممكن حساب جميع الخصائص الأخرى للجسم المدروس. فيما يلي أهمها:
- مساحة القواعد. يتم حساب هذه القيمة بواسطة الصيغة: S1=2pir2، حيث pi تساوي pi 3 ، 14. الرقم 2 في الصيغة لأن الاسطوانة لها قاعدتان متطابقتان.
- مساحة السطح الأسطواني. يمكن حسابه على النحو التالي: S2=2pirh. من السهل فهم هذه الصيغة: إذا تم قطع سطح أسطواني عموديًا من قاعدة إلى أخرى وتم توسيعه ، فسيتم الحصول على مستطيل ، يكون ارتفاعه مساويًا لارتفاع الأسطوانة ، ويتوافق العرض مع محيط قاعدة الشكل ثلاثي الأبعاد. نظرًا لأن مساحة المستطيل الناتج هي ناتج أضلاعه ، والتي تساوي h و 2pir ، يتم الحصول على الصيغة أعلاه.
- مساحة سطح الاسطوانة. إنه يساوي مجموع مناطق S1و S2، نحصل على: S3=S1+ S2=2pir2+ 2pirh=2pir(r + h)
- الحجم. من السهل العثور على هذه القيمة ، ما عليك سوى ضرب مساحة قاعدة واحدة في ارتفاع الشكل: V=(S1/ 2)h=pir2 h.
تحديد كتلة الأسطوانة
أخيرًا ، الأمر يستحق الانتقال مباشرة إلى موضوع المقالة. كيف نحدد كتلة الاسطوانة؟ للقيام بذلك ، تحتاج إلى معرفة حجمه ، معادلة الحساب التي تم تقديمها أعلاه. وكثافة المادة التي تتكون منها. يتم تحديد الكتلة بواسطة صيغة بسيطة: m=ρV ، حيث ρ هي كثافة المادة التي تشكل الكائن المعني.
يميز مفهوم الكثافة كتلة المادة الموجودة في وحدة حجم الفراغ. علي سبيل المثال. من المعروف أن الحديد له كثافة أعلى من الخشب. هذا يعني أنه في حالة وجود أحجام متساوية من مادة الحديد والخشب ، فإن الأول سيكون له كتلة أكبر بكثير من الأخيرة (حوالي 16 مرة).
حساب كتلة الاسطوانة النحاسية
اعتبر مشكلة بسيطة. من الضروري إيجاد كتلة الأسطوانة المصنوعة من النحاس. وللتوضيح دع الاسطوانة يبلغ قطرها 20 سم وارتفاعها 10 سم
قبل أن تبدأ في حل المشكلة ، يجب أن تتعامل مع بيانات المصدر. نصف قطر الاسطوانة يساوي نصف قطرها أي r=20/2=10 سم ، في حين أن الارتفاع h=10 سم ، وبما أن الاسطوانة المعتبرة في المسألة مصنوعة من النحاس إذن بالإشارة إلى البيانات المرجعية ، نكتب قيمة كثافة هذه المادة: ρ=8 ، 96 جم / سم3(لدرجة الحرارة 20 درجة مئوية).
الآن يمكنك البدء في حل المشكلة. أولاً ، لنحسب الحجم: V=pir2 h=3، 14(10)2 10=3140 سم3. ثم تكون كتلة الأسطوانة: m=ρV=8.963140=28134 جرامًا أو 28 كيلوجرامًا تقريبًا.
يجب الانتباه إلى أبعاد الوحدات أثناء استخدامها في الصيغ المقابلة. لذلك ، في المشكلة ، تم تقديم جميع المعلمات بالسنتيمتر والجرام.
اسطوانات متجانسة و مجوفة
من النتيجة التي تم الحصول عليها أعلاه ، يمكن ملاحظة أن الأسطوانة النحاسية ذات الأبعاد الصغيرة نسبيًا (10 سم) لها كتلة كبيرة (28 كجم). هذا لا يرجع فقط إلى حقيقة أنها مصنوعة من مادة ثقيلة ، ولكن أيضًا إلى حقيقة أنها متجانسة. هذه الحقيقة مهمة لفهمها ، حيث لا يمكن استخدام الصيغة أعلاه لحساب الكتلة إلا إذا كانت الأسطوانة بالكامل (من الخارج والداخل) مصنوعة من نفس المادة ، أي أنها متجانسة.
من الناحية العملية ، غالبًا ما تستخدم الأسطوانات المجوفة (على سبيل المثال ، براميل أسطوانية للمياه). أي أنها مصنوعة من صفائح رقيقة من بعض المواد ، لكنها فارغة بداخلها. بالنسبة للأسطوانة المجوفة ، لا يمكن استخدام الصيغة المحددة لحساب الكتلة.
حساب كتلة الاسطوانة المجوفة
من المثير للاهتمام حساب كتلة الأسطوانة النحاسية إذا كانت فارغة من الداخل. على سبيل المثال ، دعها تصنع من صفيحة نحاسية رفيعة بسمك د=2 مم فقط.
لحل هذه المشكلة ، تحتاج إلى إيجاد حجم النحاس نفسه ، الذي يتكون منه الجسم. ليس حجم الاسطوانة. لأن السماكةالورقة صغيرة مقارنة بأبعاد الأسطوانة (د=2 مم و ص=10 سم) ، ثم يمكن العثور على حجم النحاس الذي صنع منه الجسم بضرب مساحة سطح الأسطوانة بالكامل في سمك الصفيحة النحاسية ، نحصل على: V=dS3=d2pir(r + h). باستبدال البيانات من المشكلة السابقة ، نحصل على: V=0.223 ، 1410(10 + 10)=251.2 سم3. يمكن الحصول على كتلة الأسطوانة المجوفة بضرب الحجم الذي تم الحصول عليه من النحاس ، والذي كان مطلوبًا لتصنيعها ، بكثافة النحاس: م \u003d 251.28.96 \u003d 2251 جم أو 2.3 كجم. أي أن الأسطوانة المجوفة تزن 12 (28 ، 1/2 ، 3) مرة أقل من الأسطوانة المتجانسة.
