في الرياضيات ، الدوال العكسية عبارة عن تعبيرات متناظرة بشكل متبادل تتحول إلى بعضها البعض. لفهم ما يعنيه هذا ، يجدر التفكير في مثال محدد. لنفترض أن لدينا y=cos (x). إذا أخذنا جيب التمام من السعة ، فيمكننا إيجاد قيمة y. من الواضح ، لهذا يجب أن يكون لديك x. ولكن ماذا لو أعطي اللاعب في البداية؟ هذا هو المكان الذي يصل فيه إلى قلب الأمر. لحل المشكلة ، يلزم استخدام دالة عكسية. في حالتنا ، هذا هو جيب التمام القوسي.
بعد كل التحولات نحصل على: x=arccos (y)
أي ، لإيجاد دالة معكوسة لواحدة معينة ، يكفي فقط التعبير عن وسيطة منها. لكن هذا لا يعمل إلا إذا كان للنتيجة قيمة واحدة (المزيد عن ذلك لاحقًا).
بشكل عام ، يمكن كتابة هذه الحقيقة على النحو التالي: f (x)=y ، g (y)=x.
التعريف
لنكن f دالة مجالها هو المجموعة X ، ونطاق القيم هو المجموعة Y. ثم ، إذا كان هناك g التي تؤدي مجالاتها مهام معاكسة ، فعندئذٍ تكون f قابلة للعكس.
علاوة على ذلك ، فإن g في هذه الحالة فريدة ، مما يعني أن هناك وظيفة واحدة تفي بهذه الخاصية (لا أكثر ولا أقل). ثم تسمى الوظيفة العكسية ، وكتابتها يشار إليها كالتالي: g (x)=f-1(x).
بمعنى آخر ، يمكن اعتبارها علاقة ثنائية. يحدث الانعكاس فقط عندما يقابل عنصر من المجموعة قيمة من أخرى.
لا توجد دائمًا دالة عكسية. للقيام بذلك ، يجب أن يتوافق كل عنصر y є Y مع واحد على الأكثر x є X. ثم تسمى f واحد لواحد أو الحقن. إذا كانت f-1تنتمي إلى Y ، فإن كل عنصر من هذه المجموعة يجب أن يتوافق مع بعض x ∈ X. تسمى الوظائف بهذه الخاصية التخمينات. إنها تحمل بحكم التعريف إذا كانت Y هي صورة f ، لكن هذا ليس هو الحال دائمًا. لكي تكون معكوسًا ، يجب أن تكون الوظيفة عبارة عن حقنة وفرض. تسمى هذه التعبيرات bijections.
مثال: الدالات التربيعية والجذرية
يتم تعريف الوظيفة على [0، ∞) ويتم تقديمها بواسطة الصيغة f (x)=x2.
إذن فهو ليس عن طريق الحقن ، لأن كل نتيجة محتملة Y (باستثناء 0) تتوافق مع اثنين من X مختلفة - واحدة إيجابية والأخرى سلبية ، لذلك لا يمكن عكسها. في هذه الحالة ، سيكون من المستحيل الحصول على البيانات الأولية من البيانات المستلمة ، وهو ما يتعارضالنظريات. سيكون غير عن طريق الحقن.
إذا كان مجال التعريف محدودًا بشكل مشروط بالقيم غير السالبة ، فسيعمل كل شيء كما كان من قبل. ثم يكون حيويًا وبالتالي فهو قابل للانعكاس. الوظيفة العكسية هنا تسمى موجبة.
ملاحظة على الإدخال
دع التعيين f-1(x) قد يربك الشخص ، ولكن لا ينبغي بأي حال من الأحوال استخدامه على النحو التالي: (f (x))- 1. يشير إلى مفهوم رياضي مختلف تمامًا ولا علاقة له بالدالة العكسية.
كقاعدة عامة ، يستخدم بعض المؤلفين تعبيرات مثل sin-1(x).
ومع ذلك ، يعتقد علماء رياضيات آخرون أن هذا يمكن أن يسبب الارتباك. لتجنب مثل هذه الصعوبات ، غالبًا ما يتم الإشارة إلى الدوال المثلثية العكسية بالبادئة "القوس" (من القوس اللاتيني). في حالتنا ، نحن نتحدث عن القوس. يمكنك أيضًا مشاهدة البادئة "ar" أو "inv" من حين لآخر لبعض الوظائف الأخرى.
