ليونارد أويلر (1707-1783) - عالم رياضيات سويسري وروسي شهير ، وعضو في أكاديمية سانت بطرسبرغ للعلوم ، عاش معظم حياته في روسيا. الأكثر شهرة في التحليل الرياضي والإحصاء وعلوم الكمبيوتر والمنطق هي دائرة أويلر (مخطط أويلر فين) ، وتستخدم للدلالة على نطاق المفاهيم ومجموعات العناصر.
John Venn (1834-1923) - الفيلسوف والمنطق الإنجليزي ، المؤلف المشارك لمخطط أويلر فين.
مفاهيم متوافقة وغير متوافقة
في ظل المفهوم في المنطق يعني شكل من أشكال التفكير الذي يعكس السمات الأساسية لفئة من الأشياء المتجانسة. يتم الإشارة إليها بواسطة كلمة واحدة أو مجموعة من الكلمات: "خريطة العالم" ، "الوتر الخامس السابع المهيمن" ، "الاثنين" ، إلخ.
في الحالة التي تنتمي فيها عناصر نطاق مفهوم ما كليًا أو جزئيًا إلى نطاق مفهوم آخر ، يتحدث المرء عن مفاهيم متوافقة. ومع ذلك ، إذا لم يكن أي عنصر من نطاق مفهوم معين ينتمي إلى نطاق مفهوم آخر ، فلدينا مفاهيم غير متوافقة.
في المقابل ، لكل نوع من المفاهيم مجموعته الخاصة من العلاقات الممكنة. للمفاهيم المتوافقة ، هذه هي:
- هوية (تكافؤ) من المجلدات ؛
- عرضية (تطابق جزئي)مجلدات ؛
- تبعية.
لعدم التوافق:
- التبعية (التنسيق) ؛
- المقابل (التضاد) ؛
- تناقض
من الناحية التخطيطية ، عادةً ما يتم الإشارة إلى العلاقات بين المفاهيم في المنطق باستخدام دوائر أويلر-فين.
العلاقات المتكافئة
في هذه الحالة ، المفاهيم تعني نفس الموضوع. وفقًا لذلك ، فإن أحجام هذه المفاهيم هي نفسها تمامًا. على سبيل المثال:
A - سيغموند فرويد ؛
ب مؤسس التحليل النفسي
أو:
أ مربع ؛
B مستطيل متساوي الأضلاع
C المعين متساوي الزوايا.
متطابقة تمامًا تستخدم دوائر أويلر للتعيين.
تقاطع (تطابق جزئي)
تتضمن هذه الفئة المفاهيم التي لها عناصر مشتركة تتعلق بالعبور. أي أن حجم أحد المفاهيم مدرج جزئيًا في حجم الآخر:
A - معلم ؛
ب هو من محبي الموسيقى.
كما يتضح من هذا المثال ، تتطابق أحجام المفاهيم جزئيًا: قد تتحول مجموعة معينة من المعلمين إلى عشاق الموسيقى ، والعكس صحيح - قد يكون هناك ممثلون عن مهنة التدريس بين عشاق الموسيقى. سيكون هناك موقف مشابه في الحالة التي يكون فيها المفهوم A ، على سبيل المثال ، "مواطن" ، و B "محرك".
التبعية
يُشار إليها بشكل تخطيطي على أنها دوائر أويلر بمقاييس مختلفة. علاقاتبين المفاهيم في هذه الحالة تتميز بحقيقة أن المفهوم الثانوي (الأصغر في الحجم) مدرج بالكامل في المرؤوس (أكبر في الحجم). في الوقت نفسه ، لا يستنفد المفهوم الثانوي تمامًا المفهوم الثانوي.
على سبيل المثال:
أ - شجرة ؛
ب - الصنوبر.
سيكون المفهوم B تابعًا للمفهوم A. نظرًا لأن الصنوبر ينتمي إلى الأشجار ، يصبح المفهوم A في هذا المثال تابعًا ، "يمتص" نطاق المفهوم B.
تنسيق (تنسيق)
العلاقة تميز مفهومين أو أكثر يستبعد أحدهما الآخر ، لكنهما ينتميان إلى دائرة عامة مشتركة معينة. على سبيل المثال:
A - كلارينيت ؛
B - الغيتار ؛
C - كمان ؛
D هي آلة موسيقية
المفاهيم أ ، ب ، ج ليست متقاطعة فيما يتعلق ببعضها البعض ، ومع ذلك ، فجميعهم ينتمون إلى فئة الآلات الموسيقية (المفهوم د).
عكس (عكس)
تشير العلاقات المعاكسة بين المفاهيم إلى أن هذه المفاهيم تنتمي إلى نفس الجنس. في نفس الوقت ، أحد المفاهيم له خصائص معينة (سمات) ، بينما الآخر ينكرها ، ويستبدلها بأخرى معاكسة في الطبيعة. وبالتالي ، نحن نتعامل مع المتضادات. على سبيل المثال:
A قزم ؛
ب عملاق
دائرة أويلر مع العلاقات المعاكسة بين المفاهيمينقسم إلى ثلاثة أقسام ، الأول منها يتوافق مع المفهوم A ، والثاني يتوافق مع المفهوم B ، والثالث لجميع المفاهيم الأخرى الممكنة.
تناقض
في هذه الحالة ، كلا المفهومين نوعان من نفس الجنس. كما في المثال السابق ، يشير أحد المفاهيم إلى صفات معينة (ميزات) ، بينما يرفض الآخرها. ومع ذلك ، على عكس علاقة الأضداد ، فإن المفهوم الثاني المعاكس لا يحل محل الخصائص المرفوضة بأخرى بديلة. على سبيل المثال:
أ مهمة صعبة
ب مهمة سهلة (ليست أ).
للتعبير عن حجم المفاهيم من هذا النوع ، تنقسم دائرة أويلر إلى قسمين - الحلقة الثالثة الوسيطة غير موجودة في هذه الحالة. وبالتالي ، فإن المفاهيم هي أيضًا متضادات. في نفس الوقت ، يصبح أحدهما (أ) موجبًا (تأكيدًا لبعض الميزات) ، والثاني (B أو غير A) يصبح سالبًا (يلغي الميزة المقابلة): "مستند تقني" - "ليس مستندًا تقنيًا" ، " التاريخ الوطني "-" التاريخ الأجنبي "، إلخ.
وبالتالي ، فإن نسبة أحجام المفاهيم فيما يتعلق ببعضها البعض هي سمة أساسية تحدد دوائر أويلر.
العلاقات بين المجموعات
من الضروري أيضًا التمييز بين مفاهيم العناصر والمجموعات ، والتي يتم عرض حجمها بواسطة دوائر أويلر. يتم استعارة مفهوم المجموعة من العلوم الرياضية ولها معنى واسع إلى حد ما. تعرضها الأمثلة في المنطق والرياضيات كمجموعة معينة من الكائنات. الأشياء نفسهاعناصر من هذه المجموعة. "كثير من الناس يعتقد أنهم واحد" (جورج كانتور ، مؤسس نظرية المجموعات).
المجموعات محددة بأحرف كبيرة: A ، B ، C ، D … إلخ ، عناصر المجموعات محددة بأحرف صغيرة: أ ، ب ، ج ، د … إلخ. موجودة في فصل دراسي واحد ، أو كتب على رف معين (أو ، على سبيل المثال ، جميع الكتب في مكتبة معينة) ، أو صفحات في يوميات ، أو توت في منطقة قطع غابة ، إلخ.
في المقابل ، إذا كانت مجموعة معينة لا تحتوي على عنصر واحد ، فإنها تسمى فارغة ويتم الإشارة إليها بعلامة Ø. على سبيل المثال ، مجموعة نقاط التقاطع للخطوط المتوازية ، مجموعة حلول المعادلة x2=-5.
حل المشكلات
تُستخدم دوائر أويلر بنشاط لحل عدد كبير من المشكلات. توضح الأمثلة في المنطق بوضوح العلاقة بين العمليات المنطقية ونظرية المجموعات. في هذه الحالة ، يتم استخدام جداول الحقيقة للمفاهيم. على سبيل المثال ، الدائرة المسماة A تمثل منطقة الحقيقة. لذا فإن المنطقة خارج الدائرة ستمثل خطأ. لتحديد مساحة الرسم التخطيطي لعملية منطقية ، يجب تظليل المناطق التي تحدد دائرة أويلر ، حيث ستكون قيم العناصر A و B صحيحة.
وجد استخدام دوائر أويلر تطبيقات عملية واسعة في مختلف الصناعات. على سبيل المثال ، في موقف مع اختيار مهني. إذا كان الموضوع معنيًا باختيار مهنة مستقبلية ، فيمكن أن يسترشد بالمعايير التالية:
W - ماذا أحب أن أفعل؟
D - ماذا أفعل؟
ص- كيف يمكنني كسب المال بشكل جيد؟
لنرسم هذا كمخطط: دوائر أويلر (أمثلة في المنطق - علاقة التقاطع):
النتيجة ستكون تلك المهن التي ستكون عند تقاطع الدوائر الثلاث.
دوائر أويلر-فين تحتل مكانًا منفصلاً في الرياضيات (نظرية المجموعات) عند حساب التوليفات والخصائص. دوائر أويلر الخاصة بمجموعة العناصر محاطة بصورة مستطيل يشير إلى المجموعة العامة (U). بدلاً من الدوائر ، يمكن أيضًا استخدام أشكال أخرى مغلقة ، لكن جوهر هذا لا يتغير. تتقاطع الأرقام مع بعضها البعض ، وفقًا لظروف المشكلة (في الحالة العامة). أيضًا ، يجب تسمية هذه الأرقام وفقًا لذلك. يمكن أن تكون عناصر المجموعات قيد الدراسة نقاطًا موجودة داخل أجزاء مختلفة من الرسم التخطيطي. بناءً عليه ، يمكنك تظليل مناطق محددة ، وبالتالي تعيين المجموعات المشكلة حديثًا.
باستخدام هذه المجموعات ، من الممكن إجراء عمليات حسابية أساسية: الجمع (مجموع مجموعات العناصر) ، والطرح (الفرق) ، والضرب (المنتج). بالإضافة إلى ذلك ، بفضل مخططات Euler-Venn ، من الممكن مقارنة المجموعات بعدد العناصر المضمنة فيها ، دون حسابها.
