معرفة المسافة من نقطة إلى مستوى أو إلى خط مستقيم يسمح لك بحساب حجم ومساحة سطح الأشكال في الفضاء. يتم حساب هذه المسافة في الهندسة باستخدام المعادلات المقابلة للأجسام الهندسية المحددة. سنعرض في المقالة الصيغ التي يمكن استخدامها لتحديدها.
المعادلات الخطية والمستوية
قبل إعطاء الصيغ لتحديد المسافة من نقطة إلى مستوى وإلى خط ، دعنا نظهر المعادلات التي تصف هذه الكائنات.
لتحديد نقطة ، يتم استخدام مجموعة من الإحداثيات في نظام معين من محاور الإحداثيات. هنا سننظر فقط في النظام المستطيل الديكارتي حيث يكون للمحاور نفس متجهات الوحدة وتكون متعامدة بشكل متبادل. على متن طائرة ، يتم وصف النقطة التعسفية بإحداثيتين ، في الفضاء - بثلاثة.
تستخدم أنواع مختلفة من المعادلات لتحديد الخط المستقيم. وفقا لموضوع المقال نقدمهاثنان منهم فقط ، والتي تستخدم في الفضاء ثنائي الأبعاد لتحديد الخطوط.
معادلة المتجه. يحتوي على الترميز التالي:
(س ؛ ص)=(س0؛ y0) + λ(أ ؛ ب).
يمثل المصطلح الأول هنا إحداثيات نقطة معروفة ملقاة على الخط. المصطلح الثاني هو إحداثيات متجه الاتجاه مضروبة في رقم تعسفي λ.
معادلة عامة. تدوينه على النحو التالي:
أس + بص + ج=0 ؛
حيث A ، B ، C هي بعض المعاملات
يتم استخدام المعادلة العامة في كثير من الأحيان لتحديد الخطوط على المستوى ، ومع ذلك ، للعثور على المسافة من نقطة إلى خط على مستوى ، فمن الأنسب العمل مع تعبير متجه.
يمكن أيضًا كتابة الطائرة في الفضاء ثلاثي الأبعاد بعدة طرق رياضية. ومع ذلك ، غالبًا ما توجد معادلة عامة في المشكلات تتم كتابتها على النحو التالي:
Ax + By + Cz + D=0.
ميزة هذا الترميز بالنسبة للآخرين هو أنه يحتوي بشكل صريح على إحداثيات متجه عمودي على المستوى. يسمى هذا المتجه دليلاً له ، وهو يتزامن مع الاتجاه الطبيعي ، وإحداثياته تساوي (أ ؛ ب ؛ ج).
لاحظ أن التعبير أعلاه يتطابق مع شكل كتابة معادلة عامة لخط مستقيم في فراغ ثنائي الأبعاد ، لذلك عند حل المشكلات ، يجب أن تكون حريصًا على عدم الخلط بين هذه الكائنات الهندسية.
المسافة بين النقطة والخط
دعونا نوضح كيفية حساب المسافة بين الخط المستقيم ونقطة في الفضاء ثنائي الأبعاد.
يجب أن يكون هناك نقطة ما Q (x1؛ y1) وسطر مقدم بواسطة:
(س ؛ ص)=(س0؛ y0) + λ(أ ؛ ب).
تُفهم المسافة بين الخط والنقطة على أنها طول المقطع العمودي على هذا الخط ، وتنخفض عليه من النقطة Q.
قبل حساب هذه المسافة ، يجب استبدال إحداثيات Q في هذه المعادلة. إذا استوفوا ذلك ، فإن Q تنتمي إلى الخط المحدد ، والمسافة المقابلة تساوي صفرًا. إذا كانت إحداثيات النقطة لا تؤدي إلى المساواة ، فإن المسافة بين الكائنات الهندسية ليست صفرية. يمكن حسابه باستخدام الصيغة:
d=| [PQ¯u¯] | / | u¯ |.
هنا P هي نقطة اعتباطية للخط المستقيم ، وهي بداية المتجه PQ¯. المتجه u¯ هو مقطع إرشادي لخط مستقيم ، أي إحداثياته هي (أ ؛ ب).
يتطلب استخدام هذه الصيغة القدرة على حساب حاصل الضرب التبادلي في البسط.
مشكلة مع نقطة وخط
لنفترض أنك بحاجة إلى إيجاد المسافة بين Q (-3 ؛ 1) والخط المستقيم الذي يحقق المعادلة:
y=5x -2.
استبدال إحداثيات Q في التعبير ، يمكننا التأكد من أن Q لا تقع على الخط. يمكنك تطبيق صيغة d الواردة في الفقرة أعلاه إذا كنت تمثل هذه المعادلة في شكل متجه. لنفعل ذلك على النحو التالي:
(س ؛ ص)=(س ؛ 5س -2)=>
(س ؛ ص)=(س ؛ 5س) + (0 ؛ -2)=>
(س ؛ ص)=س(1 ؛ 5) + (0 ؛ -2)=>
(س ؛ ص)=(0 ؛ -2) +(1 ؛ 5).
الآن لنأخذ أي نقطة على هذا الخط ، على سبيل المثال (0 ؛ -2) ، ونبني متجهًا يبدأ منه وينتهي عند Q:
(- 3 ؛ 1) - (0 ؛ -2)=(-3 ؛ 3).
الآن قم بتطبيق الصيغة لتحديد المسافة ، نحصل على:
د=| [(- 3 ؛ 3)(1 ؛ 5)] | / | (1 ؛ 5) |=18/26 ≈ 3 ، 53.
المسافة من النقطة إلى الطائرة
كما في حالة الخط المستقيم ، تُفهم المسافة بين المستوى والنقطة في الفضاء على أنها طول المقطع ، والذي يتم خفضه عموديًا إلى المستوى ويتقاطع معه من نقطة معينة.
في الفضاء ، تُعطى النقطة بثلاثة إحداثيات. إذا كانت تساوي (x1؛ y1؛ z1) ، ثم المسافة بين المستوى وهذه النقطة يمكن حسابها باستخدام الصيغة:
د=| Ax1+ By1+ Cz1 + D | / √ (A2+ B2+ C2 ).
لاحظ أن استخدام الصيغة يسمح لك بالعثور فقط على المسافة من المستوى إلى الخط. لإيجاد إحداثيات النقطة التي يتقاطع عندها مقطع عمودي مع مستوى ، من الضروري كتابة معادلة للخط الذي ينتمي إليه هذا المقطع ، ثم إيجاد نقطة مشتركة لهذا الخط ومستوى معين.
مشكلة مع طائرة ونقطة
أوجد المسافة من نقطة إلى مستو إذا كان معروفًا أن النقطة لها إحداثيات (3 ؛ -1 ؛ 2) وتم إعطاء المستوى بواسطة:
-y + 3z=0.
لاستخدام الصيغة المقابلة ، نكتب أولاً معاملات لـطائرة معينة. نظرًا لعدم وجود المتغير x والمصطلح المجاني ، فإن المعاملين A و D يساويان صفرًا. لدينا:
أ=0 ؛ ب=-1 ؛ ج=3 ؛ د=0.
من السهل إظهار أن هذا المستوى يمر عبر الأصل وأن المحور السيني ينتمي إليه.
استبدل إحداثيات النقطة ومعاملات المستوى في صيغة المسافة d ، نحصل على:
د=| 03 + (-1)(- 1) + 23 + 0 | / √ (1 +9)=7 / √10 ≈ 2 ، 21.
لاحظ أنه إذا قمت بتغيير إحداثي x لنقطة ، فلن تتغير المسافة d. هذه الحقيقة تعني أن مجموعة النقاط (x ؛ -1 ؛ 2) تشكل خطاً مستقيماً موازياً للمستوى المحدد.
