متعدد الحدود - أحد الهياكل الجبرية الأساسية ، الموجودة في المدرسة والرياضيات العليا. تعد دراسة كثير الحدود أهم موضوع في مقرر الجبر ، حيث من ناحية ، تعد كثيرات الحدود بسيطة جدًا مقارنة بأنواع الوظائف الأخرى ، ومن ناحية أخرى ، تُستخدم على نطاق واسع في حل مشاكل التحليل الرياضي. إذن ما هي كثيرة الحدود؟
التعريف
يمكن تعريف مصطلح متعدد الحدود من خلال مفهوم monomial أو monomial.
المونومال هو تعبير عن النموذج cx1i1x2 i2 … x في. هنا с ثابت ، x1، x2،… x - المتغيرات ، i1 ، i2 ، … في - أسس المتغيرات. ثم كثير الحدود هو أي مجموع محدود من المونومرات.
لفهم ما هي كثيرة الحدود ، يمكنك إلقاء نظرة على أمثلة محددة.
ثلاثي الحدود المربع ، الذي تمت مناقشته بالتفصيل في دورة الرياضيات للصف الثامن ، هو متعدد الحدود: ax2+ bx + c.
قد تبدو كثيرة الحدود بمتغيرين على النحو التالي: x2-xy + y2. مثليسمى كثير الحدود أيضًا بمربع غير مكتمل للفرق بين x و y.
التصنيفات متعددة الحدود
درجة متعددة الحدود
لكل أحادية في كثير الحدود ، أوجد مجموع الأس i1 + i2 +… + in. يُطلق على أكبر المجاميع اسم كثير الحدود ، ويطلق على المونومر المقابل لهذا المجموع المصطلح الأعلى.
بالمناسبة ، يمكن اعتبار أي ثابت متعدد الحدود من الدرجة صفر.
كثيرات الحدود المختصرة وغير المختزلة
إذا كان المعامل c يساوي 1 للحد الأعلى ، فيعطى كثير الحدود ، وإلا فهو ليس كذلك.
على سبيل المثال ، التعبير x2+ 2x + 1 هو كثير حدود مختزل ، و 2x2+ 2x + 1 لا يتم اختزاله
كثيرات حدود متجانسة وغير متجانسة
إذا كانت درجات جميع أعضاء كثير الحدود متساوية ، فإننا نقول إن مثل هذا كثير الحدود متجانسة. تعتبر جميع كثيرات الحدود الأخرى غير متجانسة.
كثيرات الحدود المتجانسة: x2-xy + y2، xyz + x3+ y3. غير متجانسة: x + 1، x2+ y.
هناك أسماء خاصة لكثير الحدود من اثنين وثلاثة مصطلحات: ذات الحدين وثلاثية الحدود ، على التوالي.
كثيرات الحدود لمتغير واحد مخصصة في فئة منفصلة.
تطبيق كثير الحدود لمتغير واحد
كثيرات الحدود لمتغير واحد تقترب من الدوال المستمرة الجيدة ذات التعقيد المتفاوت من وسيطة واحدة.
الحقيقة هي أن مثل هذه كثيرات الحدود يمكن اعتبارها مجاميع جزئية لسلسلة أس ، ويمكن تمثيل الدالة المستمرة كسلسلة بها خطأ صغير عشوائيًا. تسمى سلسلة التوسعة لوظيفة ما سلسلة تايلور ، ومجاميع جزئية في شكل كثيرات الحدود - تيلور متعدد الحدود.
دراسة سلوك الدالة بيانياً عن طريق تقريبها ببعض كثيرة الحدود أسهل من التحقيق في نفس الوظيفة مباشرة أو استخدام سلسلة.
من السهل البحث عن مشتقات كثيرات الحدود. للعثور على جذور كثيرات الحدود من الدرجة 4 وما دونها ، توجد صيغ جاهزة ، وللعمل بدرجات أعلى ، يتم استخدام خوارزميات تقريبية عالية الدقة.
هناك أيضًا تعميم للعديد من الحدود الموصوفة لوظائف عدة متغيرات.
ذات الحدين لنيوتن
كثيرات الحدود الشهيرة هي كثيرة الحدود لنيوتن ، مشتقة من العلماء لإيجاد معاملات التعبير (س + ص).
يكفي أن ننظر إلى القوى القليلة الأولى للتحليل ذي الحدين للتأكد من أن الصيغة ليست بسيطة:
(x + y)2=x2+ 2xy + y2؛
(x + y)3=x3+ 3x2y + 3xy2+ y3؛
(x + y)4=x4+ 4x3y + 6x2y2+ 4xy3+ y4؛
(x + y)5=x5+ 5x4y + 10x3y2+ 10x2y3+ 5xy4+ y5.
لكل معامل هناك تعبير يسمح لك بحسابه. ومع ذلك ، فإن حفظ الصيغ المرهقة وإجراء العمليات الحسابية اللازمة في كل مرة سيكون أمرًا غير مريح للغاية بالنسبة لعلماء الرياضيات الذين يحتاجون غالبًا إلى مثل هذه التوسعات. جعل مثلث باسكال الحياة أسهل بالنسبة لهم.
تم بناء الشكل وفقًا للمبدأ التالي. 1 مكتوب في الجزء العلوي من المثلث ، وفي كل سطر تالٍ يصبح رقمًا واحدًا إضافيًا ، ويوضع 1 عند الأطراف ، ويمتلئ منتصف السطر بمجموع رقمين متجاورين من الرقم السابق.
عندما تنظر إلى الرسم التوضيحي ، يصبح كل شيء واضحًا.
بالطبع ، لا يقتصر استخدام كثيرات الحدود في الرياضيات على الأمثلة المعينة ، الأكثر شهرة على نطاق واسع.
