سلسلة فورييه هي تمثيل لوظيفة تم اتخاذها بشكل تعسفي مع فترة زمنية محددة كسلسلة. بشكل عام ، يسمى هذا الحل تحلل عنصر على أساس متعامد. يعد توسيع الوظائف في سلسلة فورييه أداة قوية إلى حد ما لحل المشكلات المختلفة بسبب خصائص هذا التحول عند دمج ، وتمييز ، وكذلك إزاحة تعبير في وسيطة والتفاف.
الشخص الذي ليس على دراية بالرياضيات العليا ، وكذلك أعمال العالم الفرنسي فورييه ، على الأرجح لن يفهم ماهية هذه "الصفوف" وما هي من أجلها. في غضون ذلك ، أصبح هذا التحول كثيفًا جدًا في حياتنا. يتم استخدامه ليس فقط من قبل علماء الرياضيات ، ولكن أيضًا من قبل الفيزيائيين والكيميائيين والأطباء وعلماء الفلك وعلماء الزلازل وعلماء المحيطات وغيرهم الكثير. دعونا نلقي نظرة فاحصة على أعمال العالم الفرنسي العظيم ، الذي توصل إلى اكتشاف قبل عصره.
الرجل وتحويل فورييه
سلسلة فورييه هي إحدى طرق تحويل فورييه (جنبًا إلى جنب مع التحليل وغيره). تحدث هذه العملية في كل مرة يسمع فيها الشخص صوتًا. تقوم أذننا تلقائيًا بتحويل الصوتأمواج. تتحلل الحركات التذبذبية للجسيمات الأولية في وسط مرن إلى صفوف (على طول الطيف) من القيم المتتالية لمستوى الصوت للنغمات ذات الارتفاعات المختلفة. بعد ذلك ، يحول الدماغ هذه البيانات إلى أصوات مألوفة لنا. كل هذا يحدث بالإضافة إلى رغبتنا أو وعينا ، في حد ذاته ، ولكن من أجل فهم هذه العمليات ، سوف يستغرق الأمر عدة سنوات لدراسة الرياضيات العليا.
المزيد عن تحويل فورييه
يمكن إجراء تحويل فورييه بالطرق التحليلية والرقمية وغيرها. تشير سلسلة فورييه إلى الطريقة الرقمية لتحليل أي عمليات تذبذبية - من المد والجزر المحيطي وموجات الضوء إلى دورات النشاط الشمسي (والأجسام الفلكية الأخرى). باستخدام هذه التقنيات الرياضية ، من الممكن تحليل الوظائف ، التي تمثل أي عمليات تذبذبية كسلسلة من المكونات الجيبية التي تنتقل من الحد الأدنى إلى الحد الأقصى والعكس صحيح. تحويل فورييه هو وظيفة تصف طور وسعة أشباه الجيوب المقابلة لتردد معين. يمكن استخدام هذه العملية لحل المعادلات المعقدة للغاية التي تصف العمليات الديناميكية التي تحدث تحت تأثير الطاقة الحرارية أو الضوئية أو الكهربائية. كما أن سلسلة فورييه تجعل من الممكن عزل المكونات الثابتة في إشارات متذبذبة معقدة ، مما جعل من الممكن تفسير الملاحظات التجريبية التي تم الحصول عليها في الطب والكيمياء وعلم الفلك بشكل صحيح.
الخلفية التاريخية
الأب المؤسس لهذه النظريةجان بابتيست جوزيف فورييه عالم رياضيات فرنسي. سمي هذا التحول لاحقًا باسمه. في البداية ، طبق العالم طريقته لدراسة وشرح آليات التوصيل الحراري - انتشار الحرارة في المواد الصلبة. اقترح فورييه أن التوزيع غير المنتظم الأولي لموجة الحرارة يمكن أن يتحلل إلى أبسط أشباه الجيوب ، ولكل منها درجة حرارة دنيا وأقصى ، بالإضافة إلى مرحلتها الخاصة. في هذه الحالة ، سيتم قياس كل مكون من الحد الأدنى إلى الحد الأقصى والعكس صحيح. تسمى الوظيفة الرياضية التي تصف القمم العلوية والسفلية للمنحنى ، وكذلك مرحلة كل من التوافقيات ، بتحويل فورييه لتعبير توزيع درجة الحرارة. اختصر مؤلف النظرية دالة التوزيع العام ، والتي يصعب وصفها رياضيًا ، إلى سلسلة سهلة التعامل جدًا من دوال جيب التمام والجيب الدورية التي تضيف ما يصل إلى التوزيع الأصلي.
مبدأ التحول وآراء المعاصرين
معاصرو العالم - علماء الرياضيات البارزون في أوائل القرن التاسع عشر - لم يقبلوا هذه النظرية. كان الاعتراض الرئيسي هو تأكيد فورييه أن دالة غير متصلة تصف خطًا مستقيمًا أو منحنى غير متصل يمكن تمثيلها كمجموع من التعبيرات الجيبية المستمرة. كمثال ، ضع في اعتبارك "خطوة" Heaviside: قيمتها صفر على يسار الفجوة وواحدة إلى اليمين. تصف هذه الوظيفة اعتماد التيار الكهربائي على متغير الوقت عند إغلاق الدائرة. لم يواجه معاصرو النظرية في ذلك الوقت مثل هذاحالة يتم فيها وصف التعبير غير المستمر من خلال مجموعة من الوظائف العادية المستمرة ، مثل الأسي أو الجيبي أو الخطي أو التربيعي.
ما الذي أربك علماء الرياضيات الفرنسيين في نظرية فورييه؟
بعد كل شيء ، إذا كان عالم الرياضيات محقًا في تصريحاته ، ثم لخص سلسلة فورييه المثلثية اللانهائية ، يمكنك الحصول على تمثيل دقيق لتعبير الخطوة حتى لو كان به العديد من الخطوات المماثلة. في بداية القرن التاسع عشر ، بدا مثل هذا البيان سخيفًا. لكن على الرغم من كل الشكوك ، قام العديد من علماء الرياضيات بتوسيع نطاق دراسة هذه الظاهرة ، مما جعلها خارج نطاق دراسات التوصيل الحراري. ومع ذلك ، استمر معظم العلماء في الانزعاج من السؤال: "هل يمكن أن يتقارب مجموع المتسلسلة الجيبية مع القيمة الدقيقة للدالة غير المستمرة؟"
تقارب سلسلة فورييه: مثال
يُطرح سؤال التقارب كلما كان ذلك ضروريًا لتلخيص سلسلة لا نهائية من الأرقام. لفهم هذه الظاهرة ، فكر في مثال كلاسيكي. هل يمكنك الوصول إلى الحائط إذا كانت كل خطوة متتالية نصف حجم الخطوة السابقة؟ لنفترض أنك على بعد مترين من الهدف ، فإن الخطوة الأولى تقربك من نقطة المنتصف ، والخطوة التالية إلى علامة الثلاثة أرباع ، وبعد الخامس ستغطي ما يقرب من 97 بالمائة من الطريق. ومع ذلك ، بغض النظر عن عدد الخطوات التي تتخذها ، فلن تحقق الهدف المقصود بالمعنى الرياضي الصارم. باستخدام الحسابات العددية ، يمكن للمرء أن يثبت أنه في النهاية يمكن للمرء أن يقترب بقدر ما يريد.مسافة صغيرة محددة. هذا الدليل يعادل إثبات أن قيمة مجموع النصف ، والربع ، وما إلى ذلك ، ستميل إلى واحد.
سؤال التقارب: المجيء الثاني ، أو جهاز لورد كلفن
أثير هذا السؤال بشكل متكرر في نهاية القرن التاسع عشر ، عندما تمت محاولة استخدام سلسلة فورييه للتنبؤ بكثافة المد والجزر. في هذا الوقت ، اخترع اللورد كلفن جهازًا ، وهو جهاز حوسبة تمثيلي سمح للبحارة في الأسطول العسكري والتجاري بتتبع هذه الظاهرة الطبيعية. حددت هذه الآلية مجموعات المراحل والسعات من جدول ارتفاعات المد والجزر ولحظات الوقت المقابلة لها ، والتي تم قياسها بعناية في ميناء معين خلال العام. كانت كل معلمة مكونًا جيبيًا لتعبير ارتفاع المد وكان أحد المكونات العادية. تم إدخال نتائج القياسات في آلة حاسبة لورد كلفن ، والتي صنعت منحنى توقع ارتفاع الماء كدالة زمنية للعام المقبل. وسرعان ما تم رسم منحنيات مماثلة لجميع موانئ العالم.
وإذا تعطلت العملية بوظيفة غير مستمرة؟
في ذلك الوقت ، بدا واضحًا أن متنبئًا بموجة المد والجزر مع عدد كبير من عناصر العد يمكنه حساب عدد كبير من الأطوار والسعات وبالتالي توفير تنبؤات أكثر دقة. ومع ذلك ، اتضح أن هذا الانتظام لا يلاحظ في الحالات التي يكون فيها تعبير المد والجزر التاليتخليق ، احتوت على قفزة حادة ، أي أنها كانت متقطعة. في حالة إدخال البيانات في الجهاز من جدول اللحظات الزمنية ، فإنه يحسب عدة معاملات فورييه. تمت استعادة الوظيفة الأصلية بفضل المكونات الجيبية (وفقًا للمعاملات الموجودة). يمكن قياس التناقض بين التعبير الأصلي والتعبير المستعاد في أي وقت. عند إجراء عمليات حسابية ومقارنات متكررة ، يمكن ملاحظة أن قيمة أكبر خطأ لا تنخفض. ومع ذلك ، فهي مترجمة في المنطقة المقابلة لنقطة عدم الاستمرارية ، وتميل إلى الصفر في أي نقطة أخرى. في عام 1899 ، تم تأكيد هذه النتيجة نظريًا من قبل جوشوا ويلارد جيبس من جامعة ييل.
تقارب سلسلة فورييه وتطور الرياضيات بشكل عام
تحليل فورييه لا ينطبق على التعبيرات التي تحتوي على عدد لانهائي من الرشقات في فترة زمنية معينة. بشكل عام ، سلسلة فورييه ، إذا كانت الوظيفة الأصلية ناتجة عن قياس فيزيائي حقيقي ، فدائمًا ما تتقارب. أسئلة تقارب هذه العملية لفئات محددة من الوظائف أدت إلى ظهور أقسام جديدة في الرياضيات ، على سبيل المثال ، نظرية الوظائف المعممة. وهو مرتبط بأسماء مثل L. Schwartz و J. Mikusinsky و J. Temple. في إطار هذه النظرية ، تم إنشاء أساس نظري واضح ودقيق لمثل هذه التعبيرات مثل دالة ديراك دلتا (وهي تصف منطقة من منطقة واحدة مركزة في حي صغير لانهائي من نقطة ما) و Heaviside " خطوة". بفضل هذا العمل ، أصبحت سلسلة فورييه قابلة للتطبيقحل المعادلات والمشكلات التي تتضمن مفاهيم بديهية: الشحنة النقطية ، الكتلة النقطية ، ثنائيات الأقطاب المغناطيسية ، بالإضافة إلى الحمل المركز على الحزمة.
طريقة فورييه
سلسلة فورييه ، وفقًا لمبادئ التداخل ، تبدأ بتحلل الأشكال المعقدة إلى أشكال أبسط. على سبيل المثال ، يتم تفسير التغيير في تدفق الحرارة من خلال مروره عبر عوائق مختلفة مصنوعة من مادة عازلة للحرارة بشكل غير منتظم أو تغيير في سطح الأرض - زلزال ، تغيير في مدار جسم سماوي - تأثير الكواكب. كقاعدة عامة ، يتم حل المعادلات المماثلة التي تصف الأنظمة الكلاسيكية البسيطة بشكل أساسي لكل موجة على حدة. أوضح فورييه أنه يمكن أيضًا تلخيص الحلول البسيطة لإعطاء حلول لمشاكل أكثر تعقيدًا. في لغة الرياضيات ، سلسلة فورييه هي تقنية لتمثيل تعبير كمجموع التوافقيات - جيب التمام والجيوب. لذلك ، يُعرف هذا التحليل أيضًا باسم "التحليل التوافقي".
سلسلة فورييه - التقنية المثالية قبل "عصر الكمبيوتر"
قبل إنشاء تكنولوجيا الكمبيوتر ، كانت تقنية فورييه أفضل سلاح في ترسانة العلماء عند العمل مع الطبيعة الموجية لعالمنا. تتيح سلسلة فورييه في شكل معقد ليس فقط حل المشكلات البسيطة التي يمكن تطبيقها مباشرة على قوانين ميكانيكا نيوتن ، ولكن أيضًا المعادلات الأساسية. معظم اكتشافات العلم النيوتوني في القرن التاسع عشر لم تكن ممكنة إلا بتقنية فورييه.
مسلسل فورييه اليوم
مع تطور حواسيب تحويل فورييهرفعت إلى مستوى جديد كليا. هذه التقنية راسخة بقوة في جميع مجالات العلوم والتكنولوجيا تقريبًا. مثال على ذلك هو إشارة الصوت والفيديو الرقمية. أصبح تحقيقها ممكنًا فقط بفضل النظرية التي طورها عالم رياضيات فرنسي في بداية القرن التاسع عشر. وهكذا ، فإن سلسلة فورييه في شكل معقد جعلت من الممكن تحقيق اختراق في دراسة الفضاء الخارجي. بالإضافة إلى ذلك ، فقد أثرت في دراسة فيزياء مواد أشباه الموصلات والبلازما ، صوتيات الميكروويف ، علم المحيطات ، الرادار ، علم الزلازل.
سلسلة فورييه المثلثية
في الرياضيات ، سلسلة فورييه هي طريقة لتمثيل الوظائف المعقدة التعسفية كمجموع للوظائف الأبسط. في الحالات العامة ، يمكن أن يكون عدد هذه التعبيرات غير محدود. علاوة على ذلك ، كلما زاد عددهم في الاعتبار في الحساب ، زادت دقة النتيجة النهائية. في أغلب الأحيان ، تُستخدم الدوال المثلثية لجيب التمام أو الجيب كأبسطها. في هذه الحالة ، تسمى سلسلة فورييه المثلثية ، ويسمى حل هذه التعبيرات بتوسيع التوافقي. تلعب هذه الطريقة دورًا مهمًا في الرياضيات. بادئ ذي بدء ، توفر السلسلة المثلثية وسيلة للصورة ، بالإضافة إلى دراسة الوظائف ، فهي الجهاز الرئيسي للنظرية. بالإضافة إلى ذلك ، فإنه يسمح بحل عدد من مشاكل الفيزياء الرياضية. أخيرًا ، ساهمت هذه النظرية في تطوير التحليل الرياضي ، مما أدى إلى ظهور عدد من الأقسام المهمة جدًا في العلوم الرياضية (نظرية التكاملات ، نظرية الوظائف الدورية). بالإضافة إلى ذلك ، كانت بمثابة نقطة انطلاق لتطوير النظريات التالية: المجموعات والوظائفمتغير حقيقي ، تحليل وظيفي ، وأرسى أيضًا الأساس للتحليل التوافقي.
