تحويل فورييه هو تحويل يقارن وظائف بعض المتغيرات الحقيقية. يتم إجراء هذه العملية في كل مرة ندرك فيها أصواتًا مختلفة. تقوم الأذن بإجراء "حساب" تلقائي ، لا يستطيع وعينا القيام به إلا بعد دراسة القسم المقابل في الرياضيات العليا. يبني عضو السمع البشري تحولا ، ونتيجة لذلك يتم توفير الصوت (الحركة التذبذبية للجسيمات الشرطية في وسط مرن تنتشر في شكل موجة في وسط صلب أو سائل أو غازي) في شكل طيف من القيم المتتالية لمستوى صوت النغمات من ارتفاعات مختلفة. بعد ذلك ، يحول المخ هذه المعلومات إلى صوت مألوف للجميع.
تحويل فورييه الرياضي
يمكن أيضًا إجراء تحويل الموجات الصوتية أو العمليات التذبذبية الأخرى (من الإشعاع الخفيف ومد المحيط إلى دورات النشاط النجمي أو الشمسي) باستخدام الطرق الرياضية. لذلك ، باستخدام هذه التقنيات ، من الممكن تحليل الوظائف عن طريق تمثيل العمليات التذبذبية كمجموعة من المكونات الجيبية ، أي المنحنيات المتموجة التيانتقل من منخفض إلى مرتفع ، ثم عد إلى منخفض ، مثل موجة البحر. تحويل فورييه - تحويل تصف وظيفته المرحلة أو سعة كل جيب جيبي يتوافق مع تردد معين. المرحلة هي نقطة بداية المنحنى ، والسعة هي ارتفاعه.
تحويل فورييه (الأمثلة موضحة في الصورة) هو أداة قوية للغاية تستخدم في مختلف مجالات العلوم. في بعض الحالات ، يتم استخدامه كوسيلة لحل المعادلات المعقدة نوعًا ما التي تصف العمليات الديناميكية التي تحدث تحت تأثير الضوء أو الطاقة الحرارية أو الطاقة الكهربائية. في حالات أخرى ، يسمح لك بتحديد المكونات العادية في الإشارات التذبذبية المعقدة ، والتي بفضلها يمكنك تفسير الملاحظات التجريبية المختلفة في الكيمياء والطب وعلم الفلك بشكل صحيح.
الخلفية التاريخية
أول شخص طبق هذه الطريقة كان عالم الرياضيات الفرنسي جان بابتيست فورييه. تم استخدام التحويل ، الذي سُمي لاحقًا باسمه ، في الأصل لوصف آلية التوصيل الحراري. قضى فورييه حياته البالغة في دراسة خصائص الحرارة. قدم مساهمة كبيرة في النظرية الرياضية لتحديد جذور المعادلات الجبرية. كان فورييه أستاذًا للتحليل في مدرسة البوليتكنيك ، وسكرتيرًا لمعهد علم المصريات ، وكان في الخدمة الإمبراطورية ، حيث تميز أثناء بناء الطريق إلى تورين (تحت قيادته ، أكثر من 80 ألف كيلومتر مربع من الملاريا.المستنقعات). ومع ذلك ، فإن كل هذا النشاط النشط لم يمنع العالم من إجراء التحليل الرياضي. في عام 1802 ، ابتكر معادلة تصف انتشار الحرارة في المواد الصلبة. في عام 1807 اكتشف العالم طريقة لحل هذه المعادلة سميت "تحويل فورييه".
تحليل التوصيل الحراري
طبق العالم طريقة رياضية لوصف آلية التوصيل الحراري. ومن الأمثلة الملائمة ، حيث لا توجد صعوبات في الحساب ، انتشار الطاقة الحرارية من خلال حلقة حديدية مغمورة في جزء واحد في النار. لإجراء التجارب ، قام فورييه بتسخين جزء من هذه الحلقة ودفنها في الرمال الناعمة. بعد ذلك ، أخذ قياسات درجة الحرارة على الجانب الآخر منها. في البداية ، يكون توزيع الحرارة غير منتظم: جزء من الحلقة بارد والآخر ساخن ؛ يمكن ملاحظة انحدار حاد في درجة الحرارة بين هذه المناطق. ومع ذلك ، في عملية انتشار الحرارة على كامل سطح المعدن ، يصبح أكثر اتساقًا. لذلك ، سرعان ما تأخذ هذه العملية شكل الجيب. في البداية ، يزيد الرسم البياني بسلاسة ويتناقص أيضًا بسلاسة ، تمامًا وفقًا لقوانين تغيير دالة جيب التمام أو الجيب. تنخفض الموجة تدريجياً ونتيجة لذلك تصبح درجة الحرارة كما هي على كامل سطح الحلقة.
اقترح مؤلف هذه الطريقة أن التوزيع الأولي غير المنتظم يمكن أن يتحلل إلى عدد من الجيوب الأولية. سيكون لكل منهم طوره الخاص (موضعه الأولي) ودرجة حرارته الخاصةأقصى. علاوة على ذلك ، يتغير كل مكون من الحد الأدنى إلى الحد الأقصى ويعود إلى ثورة كاملة حول الحلقة عددًا صحيحًا من المرات. المكون الذي له فترة واحدة كان يسمى التوافقي الأساسي ، والقيمة ذات الفترتين أو أكثر كانت تسمى الثانية ، وهكذا. لذا ، فإن الوظيفة الرياضية التي تصف درجة الحرارة القصوى أو الطور أو الموضع تسمى تحويل فورييه لوظيفة التوزيع. اختصر العالم مكونًا واحدًا ، يصعب وصفه رياضيًا ، إلى أداة سهلة الاستخدام - سلسلة جيب التمام والجيب ، والتي تلخص لإعطاء التوزيع الأصلي.
جوهر التحليل
بتطبيق هذا التحليل على تحول انتشار الحرارة من خلال جسم صلب له شكل حلقي ، استنتج عالم الرياضيات أن زيادة فترات المكون الجيبي من شأنه أن يؤدي إلى تحللها السريع. يظهر هذا بوضوح في التوافقيات الأساسية والثانية. في الأخير ، تصل درجة الحرارة إلى القيم القصوى والدنيا مرتين في مسار واحد ، وفي السابق ، مرة واحدة فقط. اتضح أن المسافة التي تقطعها الحرارة في التوافقي الثاني ستكون نصف تلك في الأساسي. بالإضافة إلى ذلك ، سيكون التدرج في الثاني أيضًا ضعف الانحدار في الأول. لذلك ، نظرًا لأن تدفق الحرارة الأكثر كثافة يقطع مسافة قصيرة بمقدار الضعف ، فإن هذا التوافقي سوف يتحلل أسرع أربع مرات من الأساسي كدالة للوقت. في المستقبل ، ستكون هذه العملية أسرع. يعتقد عالم الرياضيات أن هذه الطريقة تسمح لك بحساب عملية توزيع درجة الحرارة الأولية بمرور الوقت.
تحدي المعاصرين
تحدت خوارزمية تحويل فورييه الأسس النظرية للرياضيات في ذلك الوقت. في بداية القرن التاسع عشر ، لم يقبل أبرز العلماء ، بما في ذلك لاجرانج ، لابلاس ، بواسون ، ليجيندر وبيوت ، تصريحه بأن التوزيع الأولي لدرجة الحرارة يتحلل إلى مكونات على شكل تناسق أساسي وترددات أعلى. إلا أن أكاديمية العلوم لم تستطع تجاهل النتائج التي حصل عليها عالم الرياضيات ، ومنحته جائزة نظرية قوانين التوصيل الحراري ، فضلاً عن مقارنتها بالتجارب الفيزيائية. في نهج فورييه ، كان الاعتراض الرئيسي هو حقيقة أن الوظيفة غير المستمرة يتم تمثيلها بمجموع العديد من الوظائف الجيبية المستمرة. بعد كل شيء ، يصفون خطوطًا ممزقة مستقيمة ومنحنية. لم يواجه معاصرو العالم أبدًا موقفًا مشابهًا ، عندما تم وصف الوظائف غير المستمرة من خلال مجموعة من الوظائف المستمرة ، مثل التربيعية أو الخطية أو الجيبية أو الأسية. في حالة ما إذا كان عالم الرياضيات على حق في تصريحاته ، فإن مجموع سلسلة لانهائية للدالة المثلثية يجب أن يتم تقليصها إلى سلسلة متدرجة بالضبط. في ذلك الوقت ، بدا مثل هذا البيان سخيفًا. ومع ذلك ، على الرغم من الشكوك ، قام بعض الباحثين (مثل كلود نافيير وصوفي جيرمان) بتوسيع نطاق البحث ونقلهم إلى ما هو أبعد من تحليل توزيع الطاقة الحرارية. في غضون ذلك ، واصل علماء الرياضيات صراعهم مع مسألة ما إذا كان يمكن اختزال مجموع العديد من الوظائف الجيبية إلى تمثيل دقيق لوظيفة غير متصلة.
200 عامالتاريخ
هذه النظرية تطورت على مدى قرنين من الزمان ، واليوم تشكلت أخيرًا. بمساعدتها ، تنقسم الوظائف المكانية أو الزمنية إلى مكونات جيبية ، لها ترددها وطورها وسعتها. يتم الحصول على هذا التحول من خلال طريقتين رياضيتين مختلفتين. يتم استخدام أولهما عندما تكون الوظيفة الأصلية متصلة ، والثانية - عندما يتم تمثيلها بمجموعة من التغييرات الفردية المنفصلة. إذا تم الحصول على التعبير من القيم التي تم تحديدها بفواصل زمنية منفصلة ، فيمكن تقسيمها إلى عدة تعبيرات جيبية ذات ترددات منفصلة - من الأدنى ثم مرتين ، وثلاث مرات وما إلى ذلك أعلى من القيمة الرئيسية. هذا المبلغ يسمى سلسلة فورييه. إذا تم إعطاء التعبير الأولي قيمة لكل رقم حقيقي ، فيمكن أن يتحلل إلى عدة جيوب من جميع الترددات الممكنة. يطلق عليه عادة تكامل فورييه ، والحل ينطوي على تحويلات متكاملة للوظيفة. بغض النظر عن كيفية الحصول على التحويل ، يجب تحديد رقمين لكل تردد: السعة والتردد. يتم التعبير عن هذه القيم كرقم مركب واحد. جعلت نظرية تعبيرات المتغيرات المعقدة ، جنبًا إلى جنب مع تحويل فورييه ، من الممكن إجراء حسابات في تصميم الدوائر الكهربائية المختلفة ، وتحليل الاهتزازات الميكانيكية ، ودراسة آلية انتشار الموجات ، وأكثر من ذلك.
تحويل فورييه اليوم
اليوم ، تم تقليل دراسة هذه العملية بشكل أساسي إلى إيجاد الفعاليةطرق الانتقال من دالة إلى شكلها المحول والعكس صحيح. يسمى هذا الحل تحويل فورييه المباشر والمعكوس. ماذا يعني ذلك؟ من أجل تحديد التكامل وإنتاج تحويل فورييه مباشر ، يمكن استخدام الطرق الرياضية أو الطرق التحليلية. على الرغم من حقيقة أن بعض الصعوبات تنشأ عند استخدامها في الممارسة العملية ، فقد تم بالفعل العثور على معظم التكاملات وإدراجها في الكتب المرجعية الرياضية. يمكن استخدام الطرق العددية لحساب التعبيرات التي يعتمد شكلها على البيانات التجريبية ، أو الوظائف التي لا تتوفر تكاملاتها في الجداول ويصعب تقديمها في شكل تحليلي.
قبل ظهور أجهزة الكمبيوتر ، كانت حسابات هذه التحولات مملة للغاية ، فقد تطلبت التنفيذ اليدوي لعدد كبير من العمليات الحسابية ، والتي كانت تعتمد على عدد النقاط التي تصف الدالة الموجية. لتسهيل العمليات الحسابية ، توجد اليوم برامج خاصة جعلت من الممكن تنفيذ طرق تحليلية جديدة. لذلك ، في عام 1965 ، أنشأ جيمس كولي وجون توكي برنامجًا عُرف باسم "تحويل فورييه السريع". يتيح لك توفير الوقت لإجراء العمليات الحسابية عن طريق تقليل عدد المضاعفات في تحليل المنحنى. تعتمد طريقة تحويل فورييه السريع على تقسيم المنحنى إلى عدد كبير من قيم العينة المنتظمة. وعليه فإن عدد المضاعفات ينخفض إلى النصف بنفس الانخفاض في عدد النقاط
تطبيق تحويل فورييه
هذاتُستخدم العملية في مختلف مجالات العلوم: في نظرية الأعداد ، والفيزياء ، ومعالجة الإشارات ، والتوافقيات ، ونظرية الاحتمالات ، والتشفير ، والإحصاء ، وعلم المحيطات ، والبصريات ، والصوتيات ، والهندسة وغيرها. تستند الإمكانيات الثرية لتطبيقه على عدد من الميزات المفيدة ، والتي تسمى "خصائص تحويل فورييه". اعتبرهم
1. تحويل الوظيفة هو عامل تشغيل خطي ، ومع التطبيع المناسب ، يكون أحاديًا. تُعرف هذه الخاصية باسم نظرية بارسيفال ، أو بشكل عام نظرية بلانشيريل ، أو ثنائية بونترياجين.
2. التحول قابل للعكس. علاوة على ذلك ، فإن النتيجة العكسية لها نفس الشكل تقريبًا كما في الحل المباشر.
3. التعبيرات القاعدية الجيبية هي وظائف متباينة خاصة بها. هذا يعني أن مثل هذا التمثيل يغير المعادلات الخطية ذات المعامل الثابت إلى المعادلات الجبرية العادية.
4. وفقًا لنظرية "الالتواء" ، فإن هذه العملية تحول عملية معقدة إلى عملية ضرب أولية.
5. يمكن حساب تحويل فورييه المنفصل بسرعة على الكمبيوتر باستخدام الطريقة "السريعة".
أصناف تحويل فورييه
1. في أغلب الأحيان ، يستخدم هذا المصطلح للإشارة إلى تحول مستمر يوفر أي تعبير قابل للتكامل التربيعي كمجموع من التعبيرات الأسية المعقدة ذات الترددات والسعات الزاويّة المحددة. هذا النوع له عدة أشكال مختلفة ، والتي يمكنتختلف عن طريق المعاملات الثابتة. تتضمن الطريقة المستمرة جدول تحويل يمكن العثور عليه في الكتب المرجعية الرياضية. الحالة المعممة هي تحويل كسري ، يمكن بواسطته رفع العملية المعينة إلى القوة الحقيقية المطلوبة.
2. الوضع المستمر هو تعميم للتقنية المبكرة لسلسلة فورييه المحددة للوظائف أو التعبيرات الدورية المختلفة الموجودة في منطقة محدودة وتمثلها كسلسلة من الجيوب الأنفية.
3. تحويل فورييه المنفصل. تستخدم هذه الطريقة في تكنولوجيا الكمبيوتر للحسابات العلمية ومعالجة الإشارات الرقمية. لتنفيذ هذا النوع من الحساب ، يلزم وجود وظائف تحدد النقاط الفردية أو المناطق الدورية أو المحددة في مجموعة منفصلة بدلاً من تكاملات فورييه المستمرة. يتم تمثيل تحويل الإشارة في هذه الحالة على أنه مجموع أشباه الجيوب. في الوقت نفسه ، يتيح استخدام الطريقة "السريعة" إمكانية تطبيق حلول منفصلة لأي مشاكل عملية.
4. تحويل فورييه ذو النوافذ هو شكل معمم للطريقة الكلاسيكية. على عكس الحل القياسي ، عند استخدام طيف الإشارة ، والذي يتم أخذه في النطاق الكامل لوجود متغير معين ، هنا فقط توزيع التردد المحلي له أهمية خاصة ، بشرط الحفاظ على المتغير الأصلي (الوقت)
5. تحويل فورييه ثنائي الأبعاد. تستخدم هذه الطريقة للعمل مع مصفوفات البيانات ثنائية الأبعاد. في هذه الحالة ، يتم إجراء التحويل أولاً في اتجاه واحد ، ثم في
الخلاصة
اليوم ، طريقة فورييه راسخة بقوة في مختلف مجالات العلوم. على سبيل المثال ، في عام 1962 تم اكتشاف شكل الحلزون المزدوج للحمض النووي باستخدام تحليل فورييه مع حيود الأشعة السينية. ركز الأخير على بلورات ألياف الحمض النووي ، ونتيجة لذلك ، تم تسجيل الصورة التي تم الحصول عليها عن طريق حيود الإشعاع على الفيلم. أعطت هذه الصورة معلومات حول قيمة السعة عند استخدام تحويل فورييه إلى بنية بلورية معينة. تم الحصول على بيانات المرحلة من خلال مقارنة خريطة حيود الحمض النووي مع الخرائط التي تم الحصول عليها من تحليل الهياكل الكيميائية المماثلة. نتيجة لذلك ، استعاد علماء الأحياء التركيب البلوري - الوظيفة الأصلية.
تلعب تحويلات فورييه دورًا كبيرًا في دراسة فيزياء الفضاء وأشباه الموصلات والبلازما وصوتيات الميكروويف وعلم المحيطات والرادار وعلم الزلازل والمسوحات الطبية.
