جورج كانتور (تم تقديم الصورة لاحقًا في المقالة) عالم رياضيات ألماني ابتكر نظرية المجموعات وقدم مفهوم الأعداد العابرة للحدود ، كبيرة بشكل لا نهائي ، ولكنها مختلفة عن بعضها البعض. كما قام بتعريف الأعداد الترتيبية والأساسية وخلق حساباتهم.
جورج كانتور: سيرة ذاتية قصيرة
ولد في سان بطرسبرج في 1845/03/03. كان والده دنماركيًا من الديانة البروتستانتية ، جورج فالديمار كانتور ، وكان يعمل في التجارة ، بما في ذلك البورصة. كانت والدته ماريا بيم كاثوليكية وتنحدر من عائلة موسيقيين بارزين. عندما مرض والد جورج عام 1856 ، انتقلت العائلة أولاً إلى فيسبادن ثم إلى فرانكفورت بحثًا عن مناخ أكثر اعتدالًا. ظهرت مواهب الصبي الرياضية حتى قبل عيد ميلاده الخامس عشر أثناء دراسته في المدارس الخاصة وصالات الألعاب الرياضية في دارمشتات وفيسبادن. في النهاية ، أقنع جورج كانتور والده بنيته الراسخة في أن يصبح عالم رياضيات وليس مهندسًا.
بعد دراسة قصيرة في جامعة زيورخ ، في عام 1863 انتقل كانتور إلى جامعة برلين لدراسة الفيزياء والفلسفة والرياضيات. ها هوتدرس:
- Karl Theodor Weierstrass ، الذي ربما كان لتخصصه في التحليل التأثير الأكبر على جورج ؛
- إرنست إدوارد كومر ، الذي علم الحساب العالي ؛
- ليوبولد كرونيكر ، منظّر الأعداد الذي عارض فيما بعد كانتور.
بعد أن أمضى فصلًا دراسيًا واحدًا في جامعة غوتنغن في عام 1866 ، كتب جورج في العام التالي أطروحة الدكتوراه بعنوان "في الرياضيات ، يكون فن طرح الأسئلة أكثر قيمة من حل المشكلات" ، فيما يتعلق بمشكلة واجهها كارل فريدريش غاوس ترك دون حل في كتابه Disquisitiones Arithmeticae (1801). بعد التدريس لفترة وجيزة في مدرسة برلين للبنات ، بدأ كانتور العمل في جامعة هاله ، حيث بقي حتى نهاية حياته ، في البداية كمدرس ، من عام 1872 كأستاذ مساعد ، ومن عام 1879 كأستاذ.
بحث
في بداية سلسلة من 10 أوراق بحثية من 1869 إلى 1873 ، اعتبر جورج كانتور نظرية الأعداد. يعكس العمل شغفه بالموضوع ، ودراساته حول Gauss وتأثير Kronecker. بناءً على اقتراح هاينريش إدوارد هاينه ، زميل كانتور في هاله ، الذي أدرك موهبته الرياضية ، التفت إلى نظرية المتسلسلة المثلثية ، التي وسّع فيها مفهوم الأعداد الحقيقية.
استنادًا إلى العمل على وظيفة متغير معقد من قبل عالم الرياضيات الألماني برنارد ريمان في عام 1854 ، أظهر Kantor في عام 1870 أن مثل هذه الوظيفة يمكن تمثيلها بطريقة واحدة فقط - عن طريق المتسلسلة المثلثية. النظر في مجموعة من الأرقام (النقاط) التيلن يتعارض مع مثل هذا الرأي ، قاده ، أولاً ، في عام 1872 إلى تعريف الأعداد غير المنطقية من حيث التسلسل المتقارب للأعداد المنطقية (كسور الأعداد الصحيحة) ثم بداية العمل في عمله في حياته ، ونظرية المجموعات والمفهوم من الأعداد العابرة للحدود.
تعيين النظرية
كان جورج كانتور ، الذي نشأت نظريته في المراسلات مع عالم الرياضيات في المعهد التقني في براونشفايغ ، ريتشارد ديديكيند ، صديقًا له منذ الطفولة. وخلصوا إلى أن المجموعات ، سواء كانت محدودة أو غير محدودة ، هي مجموعات من العناصر (مثل الأرقام ، {0 ، ± 1 ، ± 2.}) التي لها خاصية معينة مع الاحتفاظ بفرديتها. ولكن عندما استخدم جورج كانتور المراسلات الثنائية (على سبيل المثال ، {أ ، ب ، ج} إلى {1 ، 2 ، 3}) لدراسة خصائصها ، أدرك سريعًا أنها تختلف في درجة عضويتها ، حتى إذا كانت مجموعات لا نهائية ، أي مجموعات ، يشتمل جزء منها أو مجموعة فرعية منها على العديد من العناصر مثلها. سرعان ما أعطت طريقته نتائج مذهلة.
في عام 1873 ، أظهر جورج كانتور (عالم رياضيات) أن الأرقام المنطقية ، على الرغم من كونها غير محدودة ، يمكن عدها لأنه يمكن وضعها في مراسلات فردية مع أرقام طبيعية (أي 1 ، 2 ، 3 ، إلخ). د.). لقد أظهر أن مجموعة الأعداد الحقيقية ، المكونة من أعداد غير منطقية وعقلانية ، لا نهائية وغير معدودة. وللمفارقة ، أثبت كانتور أن مجموعة جميع الأعداد الجبرية تحتوي على عدد من العناصر مثلهاكم هي مجموعة جميع الأعداد الصحيحة ، وتلك الأعداد المتجاوزة ، والتي ليست جبرية ، وهي مجموعة فرعية من الأرقام غير النسبية ، غير معدودة ، وبالتالي فإن عددها أكبر من الأعداد الصحيحة ، ويجب اعتبارها غير محدودة.
المعارضين والمؤيدين
لكن ورقة Kantor ، التي طرح فيها هذه النتائج لأول مرة ، لم تُنشر في Krell ، حيث عارض أحد المراجعين ، Kronecker ، بشدة. لكن بعد مداخلة ديدكيند ، نُشرت عام 1874 تحت عنوان "الخصائص المميزة لجميع الأعداد الجبرية الحقيقية".
العلم والحياة الخاصة
في نفس العام ، أثناء شهر العسل مع زوجته والي غوتمان في إنترلاكن ، سويسرا ، التقى كانتور بديكيند ، الذي تحدث بشكل إيجابي عن نظريته الجديدة. كان راتب جورج ضئيلاً ، لكن بمال والده ، الذي توفي عام 1863 ، بنى منزلاً لزوجته وأطفاله الخمسة. نُشرت العديد من أوراقه في السويد في المجلة الجديدة Acta Mathematica ، التي تم تحريرها وتأسيسها بواسطة Gesta Mittag-Leffler ، التي كانت من بين أول من عرف موهبة عالم الرياضيات الألماني.
اتصال مع الميتافيزيقيا
أصبحت نظرية كانتور موضوعًا جديدًا تمامًا للدراسة فيما يتعلق بالرياضيات اللانهائية (مثل السلاسل 1 ، 2 ، 3 ، وما إلى ذلك ، والمجموعات الأكثر تعقيدًا) ، والتي اعتمدت بشكل كبير على المراسلات الفردية. تطوير Kantor لطرق التدريج الجديدةأسئلة تتعلق بالاستمرارية واللانهاية أعطت بحثه صفة غامضة
عندما جادل بأن الأعداد اللانهائية موجودة بالفعل ، لجأ إلى الفلسفة القديمة والوسطى فيما يتعلق باللانهاية الفعلية والمحتملة ، وكذلك إلى التعليم الديني المبكر الذي قدمه له والديه. في عام 1883 ، في كتابه أسس نظرية المجموعة العامة ، جمع كانتور مفهومه مع الميتافيزيقيا لأفلاطون.
كرونيكر ، الذي ادعى أن الأعداد الصحيحة فقط “موجودة” (“الله خلق الأعداد الصحيحة ، والباقي هو عمل الإنسان”) ، لسنوات عديدة رفض بشدة تفكيره ومنع تعيينه في جامعة برلين.
أرقام Transfinite
في 1895-97. شكل جورج كانتور مفهومه عن الاستمرارية واللانهاية ، بما في ذلك الأعداد الترتيبية والكاردينالية اللانهائية ، في أشهر أعماله ، التي نُشرت كمساهمات في تأسيس نظرية الأعداد العابرة للحدود (1915). يحتوي هذا المقال على مفهومه ، والذي تم توجيهه إليه من خلال إظهار أنه يمكن وضع مجموعة لا نهائية في مراسلات فردية مع إحدى مجموعاتها الفرعية.
تحت أقل رقم أصلي غير محدود ، كان يقصد العلاقة الأساسية لأي مجموعة يمكن وضعها في مراسلات فردية مع أرقام طبيعية. أطلق كانتور على ذلك اسم aleph-null. مجموعات transfinite الكبيرة يُرمز إليها aleph-one ، aleph-two ، إلخ. لقد طور أيضًا حساب الأعداد العابرة للحدود ، والذي كان مشابهًا للحساب المحدود. إذا هوأثرى مفهوم اللانهاية
المعارضة التي واجهها والوقت الذي استغرقه قبول أفكاره بالكامل يرجع إلى صعوبة إعادة تقييم السؤال القديم حول ماهية الرقم. أظهر كانتور أن مجموعة النقاط على الخط لها عدد أصل أعلى من أليف-صفر. أدى ذلك إلى المشكلة المعروفة لفرضية الاستمرارية - لا توجد أعداد أساسية بين ألف صفر وقوة النقاط على الخط. أثارت هذه المشكلة في النصف الأول والثاني من القرن العشرين اهتمامًا كبيرًا ودرسها العديد من علماء الرياضيات ، بما في ذلك كورت جودل وبول كوهين.
الاكتئاب
طغى مرضه العقلي على سيرة جورج كانتور منذ عام 1884 ، لكنه واصل العمل بنشاط. في عام 1897 ساعد في عقد المؤتمر الدولي الأول للرياضيات في زيورخ. جزئيًا بسبب معارضة كرونيكر له ، غالبًا ما كان يتعاطف مع الرياضيين الشباب الطموحين وسعى لإيجاد طريقة لإنقاذهم من مضايقات المعلمين الذين شعروا بالتهديد من الأفكار الجديدة.
الاعتراف
في مطلع القرن ، تم الاعتراف بعمله بشكل كامل كأساس لنظرية الوظيفة والتحليل والطوبولوجيا. بالإضافة إلى ذلك ، كانت كتب كانتور جورج بمثابة حافز لمزيد من التطوير للمدارس الحدسية والشكلية للأسس المنطقية للرياضيات. أدى هذا إلى تغيير نظام التدريس بشكل كبير وغالبًا ما يرتبط بـ "الرياضيات الجديدة".
في عام 1911 ، كان كانتور من بين المدعوينالاحتفال بمرور 500 عام على إنشاء جامعة سانت أندروز في اسكتلندا. ذهب إلى هناك على أمل مقابلة برتراند راسل ، الذي أشار مرارًا وتكرارًا في عمله المنشور مؤخرًا Principia Mathematica إلى عالم الرياضيات الألماني ، لكن هذا لم يحدث. منحت الجامعة Kantor درجة فخرية ، لكن بسبب المرض لم يتمكن من قبول الجائزة شخصيًا.
تقاعد كانتور عام 1913 ، وعاش في فقر وتضور جوعًا خلال الحرب العالمية الأولى. ألغيت الاحتفالات بعيد ميلاده السبعين في عام 1915 بسبب الحرب ، ولكن أقيم حفل صغير في منزله. توفي في 1918-06-01 في مستشفى للأمراض النفسية في هاله حيث قضى آخر سنوات حياته.
جورج كانتور: سيرة ذاتية. الأسرة
9 أغسطس 1874 ، تزوج عالم رياضيات ألماني من والي جوتمان. كان للزوجين 4 أبناء وبنتان. وُلد آخر طفل عام 1886 في منزل جديد اشتراه كانتور. ساعده ميراث والده في إعالة أسرته. تأثرت صحة كانتور بشكل كبير بوفاة نجله الأصغر عام 1899 ، ولم يتركه الاكتئاب منذ ذلك الحين.
