أسطح الترتيب الثاني: أمثلة

2024 مؤلف: Angel Austin | [email protected]. آخر تعديل: 2024-01-02 17:40

غالبًا ما يواجه الطالب أسطحًا من الدرجة الثانية في السنة الأولى. في البداية ، قد تبدو المهام المتعلقة بهذا الموضوع بسيطة ، ولكن بينما تدرس الرياضيات العليا وتتعمق في الجانب العلمي ، يمكنك أخيرًا التوقف عن توجيه نفسك فيما يحدث. لمنع حدوث ذلك ، من الضروري ليس فقط الحفظ ، ولكن لفهم كيفية الحصول على هذا السطح أو ذاك ، وكيف يؤثر تغيير المعاملات عليه وموقعه بالنسبة إلى نظام الإحداثيات الأصلي ، وكيفية العثور على نظام جديد (واحد يتطابق فيه مركزه مع إحداثيات الأصل ، ويكون محور التناظر موازٍ لأحد محاور الإحداثيات). لنبدأ من البداية

التعريف

GMT تسمى السطح من الدرجة الثانية ، والتي تتوافق إحداثياتها مع المعادلة العامة للصيغة التالية:

F (س ، ص ، ض)=0.

من الواضح أن كل نقطة تنتمي إلى السطح يجب أن يكون لها ثلاثة إحداثيات في أساس معين. على الرغم من أنه في بعض الحالات يمكن أن يتدهور موضع النقاط ، على سبيل المثال ، إلى مستوى. هذا يعني فقط أن أحد الإحداثيات ثابت ويساوي صفرًا في النطاق الكامل للقيم المقبولة.

الشكل الكامل المرسوم للمساواة المذكورة أعلاه يبدو كما يلي:

A₁₁x²+ A₂₂y²+ A₃₃z²+ 2A₁₂xy + 2A_{23 yz + 2A}13_{xz + 2A}14_{x + 2A}24_{y + 2A34}z + A₄₄=0.

A_{nm- بعض الثوابت ، x ، y ، z - المتغيرات المقابلة للإحداثيات التقريبية لنقطة ما. في هذه الحالة ، يجب ألا يساوي أحد العوامل الثابتة على الأقل صفرًا ، أي لن تتوافق أي نقطة مع المعادلة.}

في الغالبية العظمى من الأمثلة ، لا تزال العديد من العوامل العددية مساوية للصفر ، والمعادلة مبسطة إلى حد كبير. من الناحية العملية ، ليس من الصعب تحديد ما إذا كانت نقطة ما تنتمي إلى سطح ما (يكفي استبدال إحداثياتها في المعادلة والتحقق من ملاحظة الهوية). النقطة الأساسية في هذا العمل هي إحضار هذا الأخير إلى شكل متعارف عليه.

تحدد المعادلة المكتوبة أعلاه أي أسطح (جميعها مذكورة أدناه) من الترتيب الثاني. سننظر في الأمثلة أدناه.

أنواع الأسطح من الدرجة الثانية

تختلف معادلات الأسطح من الترتيب الثاني فقط في قيم المعاملات A_{nm. من المنظر العام لقيم معينة من الثوابت يمكن الحصول على أسطح مختلفة مصنفة كالتالي:}

1. اسطوانات.
2. نوع بيضاوي.
3. نوع قطعي.
4. نوع مخروطي.
5. نوع مكافئ.
6. طائرات.

كل نوع من الأنواع المدرجة له شكل طبيعي وخيالي: في الشكل التخيلي ، إما أن يتدهور موضع النقاط الحقيقية إلى شكل أبسط ، أو يكون غائبًا تمامًا.

اسطوانات

هذا هو النوع الأبسط ، نظرًا لأن المنحنى المعقد نسبيًا يقع فقط في القاعدة ، ويعمل كدليل. المولدات عبارة عن خطوط مستقيمة متعامدة مع المستوى الذي تقع فيه القاعدة.

يوضح الرسم البياني أسطوانة دائرية ، حالة خاصة لأسطوانة بيضاوية. في المستوى XY ، سيكون إسقاطه شكل بيضاوي (في حالتنا ، دائرة) - دليل ، وفي XZ - مستطيل - لأن المولدات موازية للمحور Z. للحصول عليها من المعادلة العامة ، تحتاج لإعطاء المعاملات القيم التالية:

بدلاً من الرموز المعتادة x ، y ، z ، x برقم تسلسلي - لا يهم.

في الواقع ، 1 / a2والثوابت الأخرى المشار إليها هنا هي نفس المعاملات المشار إليها في المعادلة العامة ، ولكن من المعتاد كتابتها في هذا النموذج - هذا هو التمثيل القانوني. علاوة على ذلك ، سيتم استخدام مثل هذا الترميز فقط.

هكذا يتم تعريف الأسطوانة الزائدية. المخطط هو نفسه - سيكون المبالغة هو الدليل.

y2=2px

يتم تعريف الأسطوانة المكافئة بشكل مختلف نوعًا ما: يتضمن شكلها الأساسي المعامل p ، الذي يسمى المعلمة. في الواقع ، المعامل يساوي q=2p ، لكن من المعتاد تقسيمه إلى عاملين مقدمين.

هناك نوع آخر من الاسطوانات: خيالي. لا توجد نقطة حقيقية تنتمي إلى هذه الأسطوانة. يتم وصفه بواسطة المعادلةاسطوانة بيضاوية الشكل ، ولكن بدلاً من الوحدة هي -1.

نوع بيضاوي

يمكن تمديد الشكل البيضاوي على طول أحد المحاور (التي تعتمد على طولها على قيم الثوابت أ ، ب ، ج ، المشار إليها أعلاه ؛ من الواضح أن المعامل الأكبر سوف يتوافق مع المحور الأكبر)

هناك أيضًا شكل بيضاوي وهمي - بشرط أن يكون مجموع الإحداثيات مضروبًا في المعاملات هو -1:

Hyperboloids

عندما يظهر ناقص في أحد الثوابت ، تتحول المعادلة البيضاوية إلى معادلة شكل زائد مفردة. يجب أن يكون مفهوما أن هذا الطرح لا يجب تحديده قبل إحداثي x₃ ! إنه يحدد فقط أي من المحاور سيكون محور دوران الشكل الزائد (أو موازيًا له ، لأنه عندما تظهر المصطلحات الإضافية في المربع (على سبيل المثال ، (x-2)^{2) يتحرك مركز الشكل ، ونتيجة لذلك يتحرك السطح بالتوازي مع محاور الإحداثيات). هذا ينطبق على جميع الأسطح من الدرجة الثانية.}

علاوة على ذلك ، عليك أن تفهم أن المعادلات مقدمة في شكل أساسي ويمكن تغييرها عن طريق تغيير الثوابت (مع الاحتفاظ بالعلامة!) ؛ بينما سيبقى شكلها (الشكل الزائد ، المخروط ، وما إلى ذلك) كما هو.

هذه المعادلة معطاة بالفعل بواسطة شكل زائد مكون من ورقتين.

سطح مخروطي

لا توجد وحدة في المعادلة المخروطية - تساوي الصفر.

فقط السطح المخروطي المحدود يسمى مخروط. توضح الصورة أدناه أنه ، في الواقع ، سيكون هناك نوعان من الأقماع المزعومة على الرسم البياني

ملاحظة مهمة: في جميع المعادلات المتعارف عليها ، تعتبر الثوابت إيجابية بشكل افتراضي. خلاف ذلك ، قد تؤثر العلامة على الرسم البياني النهائي.

تصبح مستويات الإحداثيات مستويات تناظر المخروط ، ويقع مركز التناظر في الأصل.

لا يوجد سوى إيجابيات في المعادلة المخروطية التخيلية ؛ انها تمتلك نقطة واحدة حقيقية.

بارابولويدس

يمكن أن تتخذ الأسطح من المرتبة الثانية في الفضاء أشكالًا مختلفة حتى مع وجود معادلات مماثلة. على سبيل المثال ، هناك نوعان من البارابولويد.

x²/ a²+ y²/ b^2=2z

مكافئ بيضاوي ، عندما يكون المحور Z عموديًا على الرسم ، سيتم عرضه في شكل بيضاوي.

x²/ a²-y²/ b^2=2z

القطع المكافئ الزائدي: المقاطع ذات المستويات الموازية لـ ZY ستنتج قطعًا مكافئًا ، والأقسام ذات المستويات الموازية لـ XY ستنتج قطعًا زائدية.

الطائرات المتقاطعة

هناك حالات عندما تتدهور الأسطح من الدرجة الثانية إلى مستوى. يمكن ترتيب هذه الطائرات بعدة طرق.

ضع في اعتبارك أولاً الطائرات المتقاطعة:

x²/ a²-y²/ b²⁼⁰

ينتج عن هذا التعديل في المعادلة الأساسية طائرتان متقاطعتان فقط (وهمي!) ؛ جميع النقاط الحقيقية موجودة على محور الإحداثيات المفقودة في المعادلة (في المحور الأساسي - المحور Z).

الطائرات المتوازية

y²=a²

عندما يكون هناك إحداثي واحد فقط ، فإن أسطح الترتيب الثاني تتدهور إلى زوج من المستويات المتوازية. تذكر أن أي متغير آخر يمكن أن يحل محل Y ؛ ثم سيتم الحصول على طائرات موازية لمحاور أخرى

y²=- a²

في هذه الحالة يصبحون خياليين

طائرات متزامنة

y2=0

بمثل هذه المعادلة البسيطة ، يتدهور زوج من الطائرات في واحد - يتطابقان.

لا تنس أنه في حالة الأساس ثلاثي الأبعاد ، فإن المعادلة أعلاه لا تحدد الخط المستقيم y=0! إنه يفتقر إلى المتغيرين الآخرين ، لكن هذا يعني فقط أن قيمتهما ثابتة وتساوي الصفر.

مبنى

من أصعب المهام بالنسبة للطالب بناء أسطح من الدرجة الثانية. بل إنه من الأصعب الانتقال من نظام إحداثيات إلى آخر ، بالنظر إلى زوايا المنحنى فيما يتعلق بالمحاور وإزاحة المركز. دعنا نكرر كيفية تحديد العرض المستقبلي للرسم باستمرار باستخدام التحليلالطريق

لبناء سطح من الدرجة الثانية ، تحتاج:

• أحضر المعادلة إلى الشكل المتعارف عليه ؛
• تحديد نوع السطح قيد الدراسة
• بناء على أساس قيم المعامل.

فيما يلي جميع الأنواع المعتبرة:

للدمج ، دعنا نصف بالتفصيل مثالاً واحداً لهذا النوع من المهام.

أمثلة

افترض أن هناك معادلة:

3 (x²-2x + 1) + 6y²+ 2z^{2+ 60 ص + 144=0}

لنجلبه إلى الشكل المتعارف عليه. دعونا نفرد المربعات الكاملة ، أي أننا نرتب المصطلحات المتاحة بطريقة تجعلها توسع مربع المجموع أو الفرق. على سبيل المثال: إذا (a + 1)²=a²+ 2a + 1 ثم a²+ 2a + 1=(أ + 1)^{2. سنقوم بالعملية الثانية. في هذه الحالة ، ليس من الضروري فتح الأقواس ، لأن هذا لن يؤدي إلا إلى تعقيد العمليات الحسابية ، ولكن من الضروري إخراج العامل المشترك 6 (بين قوسين مع المربع الكامل لـ Y):}

3 (x-1)²+ 6 (y + 5)²+ 2z²⁼⁶

المتغير z يحدث في هذه الحالة مرة واحدة فقط - يمكنك تركه بمفرده في الوقت الحالي.

نقوم بتحليل المعادلة في هذه المرحلة: كل المجهول يسبقها علامة زائد ؛ عند القسمة على ستة ، يبقى واحد. لذلك ، لدينا معادلة تحدد شكل بيضاوي.

لاحظ أنه تم أخذ 144 في الاعتبار في 150-6 ، وبعد ذلك تم نقل -6 إلى اليمين. لماذا يجب أن يتم ذلك بهذه الطريقة؟ من الواضح أن القاسم الأكبر في هذا المثال هو -6 ، بحيث بعد القسمة عليهواحد على اليمين ، من الضروري "التأجيل" بالضبط 6 من 144 (حقيقة أن المرء يجب أن يكون على اليمين يشير إليها وجود مصطلح حر - ثابت غير مضروب في مجهول).

قسّم كل شيء على ستة واحصل على المعادلة الأساسية للقطع الناقص:

(x-1)²/ 2 + (y + 5)²/ 1 + z^{2/ 3=1}

في التصنيف المستخدم سابقًا للأسطح من الدرجة الثانية ، يتم النظر في حالة خاصة عندما يكون مركز الشكل في أصل الإحداثيات. في هذا المثال ، تمت إزاحته.

نفترض أن كل قوس به مجاهيل هو متغير جديد. وهذا هو: أ=س -1 ، ب=ص + 5 ، ج=ع. في الإحداثيات الجديدة ، يتطابق مركز الشكل الإهليلجي مع النقطة (0 ، 0 ، 0) ، وبالتالي ، أ=ب=ج=0 ، حيث: س=1 ، ص=-5 ، ض=0. في الإحداثيات الأولية ، يقع مركز الشكل عند النقطة (1 ، -5 ، 0).

سيتم الحصول على Ellipsoid من قطعتين بيضاويتين: الأول في المستوى XY والثاني في المستوى XZ (أو YZ - لا يهم). المعاملات التي تقسم بها المتغيرات تربيع في المعادلة الأساسية. لذلك ، في المثال أعلاه ، سيكون من الأصح القسمة على جذر اثنين ، واحد وجذر ثلاثة.

المحور الصغير للقطع الناقص الأول ، الموازي للمحور Y ، هو اثنان. المحور الرئيسي الموازي للمحور x هو جذران لاثنين. يظل المحور الصغير للقطع الناقص الثاني ، الموازي للمحور Y ، كما هو - إنه يساوي اثنين. والمحور الرئيسي الموازي للمحور Z يساوي جذر ثلاثة.

بمساعدة البيانات التي تم الحصول عليها من المعادلة الأصلية بالتحويل إلى الشكل المتعارف عليه ، يمكننا رسم شكل بيضاوي.

تلخيص

تمت تغطيته في هذه المقالةالموضوع واسع للغاية ، ولكن في الواقع ، كما ترون الآن ، ليس معقدًا للغاية. في الواقع ، ينتهي تطورها في اللحظة التي تحفظ فيها أسماء ومعادلات الأسطح (وبالطبع كيف تبدو). في المثال أعلاه ، ناقشنا كل خطوة بالتفصيل ، لكن إحضار المعادلة إلى الشكل الأساسي يتطلب الحد الأدنى من المعرفة بالرياضيات العليا ويجب ألا يسبب أي صعوبات للطالب.

تحليل الجدول الزمني المستقبلي بشأن المساواة الحالية هو بالفعل مهمة أكثر صعوبة. ولكن بالنسبة لحلها الناجح ، يكفي فهم كيفية بناء منحنيات الدرجة الثانية المقابلة - الأشكال البيضاوية والقطوع المكافئة وغيرها.

حالات الانحطاط - قسم أبسط. بسبب عدم وجود بعض المتغيرات ، لا يتم تبسيط الحسابات فقط ، كما ذكرنا سابقًا ، ولكن أيضًا البناء نفسه.

بمجرد أن تتمكن من تسمية جميع أنواع الأسطح بثقة ، قم بتغيير الثوابت ، وتحويل الرسم البياني إلى شكل أو آخر - سيتم إتقان الموضوع.

النجاح في دراستك!