تنص إحدى بديهيات الهندسة على أنه من خلال أي نقطتين يمكن رسم خط مستقيم واحد. تشهد هذه البديهية على وجود تعبير رقمي فريد يصف بشكل فريد الكائن الهندسي أحادي البعد المحدد. ضع في اعتبارك في المقالة مسألة كيفية كتابة معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين.
ما هي النقطة والخط؟
قبل التفكير في مسألة إنشاء خط مستقيم لمعادلة تمر عبر زوج من النقاط المختلفة في الفضاء وعلى المستوى ، يجب على المرء تحديد الكائنات الهندسية المحددة.
يتم تحديد النقطة بشكل فريد من خلال مجموعة من الإحداثيات في نظام معين من محاور الإحداثيات. بالإضافة إلى ذلك ، لا توجد خصائص أخرى لهذه النقطة. إنها كائن صفري الأبعاد.
عند الحديث عن خط مستقيم ، يتخيل كل شخص خطًا مرسومًا على ورقة بيضاء. في الوقت نفسه ، من الممكن إعطاء تعريف هندسي دقيقهذا الكائن. الخط المستقيم عبارة عن مجموعة من النقاط التي من أجلها سيعطي اتصال كل منها مع الآخرين مجموعة من المتجهات المتوازية.
يتم استخدام هذا التعريف عند تعيين معادلة المتجه لخط مستقيم ، والتي سيتم مناقشتها أدناه.
نظرًا لأنه يمكن تمييز أي خط بقطعة ذات طول تعسفي ، يُقال إنه كائن هندسي أحادي البعد.
وظيفة ناقل الرقم
يمكن كتابة معادلة من خلال نقطتين من خط مستقيم عابر في أشكال مختلفة. في المساحات ثلاثية الأبعاد وثنائية الأبعاد ، يكون التعبير العددي الرئيسي والمفهوم حدسيًا هو ناقل.
افترض أن هناك مقطعًا موجهًا u¯ (أ ؛ ب ؛ ج). في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، يمكن أن يبدأ المتجه u¯ في أي نقطة ، لذا فإن إحداثياته تحدد مجموعة لا نهائية من المتجهات المتوازية. ومع ذلك ، إذا اخترنا نقطة محددة P (x0؛ y0؛ z0) ووضعنا إنها بداية المتجه u¯ ، ثم بضرب هذا المتجه برقم حقيقي تعسفي λ ، يمكن للمرء الحصول على جميع نقاط خط مستقيم واحد في الفضاء. بمعنى ، ستتم كتابة معادلة المتجه على النحو التالي:
(x ؛ y ؛ z)=(x0؛ y0؛ z0) + λ(أ ؛ ب ؛ ج)
من الواضح ، بالنسبة للحالة على المستوى ، تأخذ الوظيفة العددية الشكل:
(س ؛ ص)=(س0؛ y0) + λ(أ ؛ ب)
ميزة هذا النوع من المعادلات مقارنة بالآخرين (في المقاطع ، المتعارف عليه ،الشكل العام) في حقيقة أنه يحتوي صراحة على إحداثيات متجه الاتجاه. غالبًا ما يستخدم الأخير لتحديد ما إذا كانت الخطوط متوازية أم متعامدة.
عام في المقاطع والوظيفة المتعارف عليها لخط مستقيم في الفضاء ثنائي الأبعاد
عند حل المشكلات ، تحتاج أحيانًا إلى كتابة معادلة خط مستقيم يمر عبر نقطتين في شكل معين محدد. لذلك ، يجب إعطاء طرق أخرى لتحديد هذا الكائن الهندسي في الفضاء ثنائي الأبعاد (للتبسيط ، نعتبر الحالة على المستوى).
لنبدأ بمعادلة عامة. شكلها:
أس + بص + ج=0
كقاعدة عامة ، على المستوى تتم كتابة معادلة الخط المستقيم في هذه الصورة ، يتم تعريف y فقط صراحةً من خلال x.
الآن قم بتحويل التعبير أعلاه على النحو التالي:
Ax + By=-C=>
x / (- C / A) + y / (- C / B)=1
يسمى هذا التعبير معادلة في المقاطع ، لأن المقام لكل متغير يوضح المدة التي يقطعها جزء الخط على محور الإحداثيات المقابل بالنسبة إلى نقطة البداية (0 ؛ 0).
يبقى أن نعطي مثالاً على المعادلة الأساسية. للقيام بذلك ، نكتب مساواة المتجه صراحة:
x=x0+ λa ؛
y=y0+ λb
دعونا نعبر عن المعلمة λ من هنا ونساوي المساواة الناتجة:
λ=(س - س0) / أ ؛
λ=(y - y0) / b ؛
(س -x0) / a=(y - y0) / b
المساواة الأخيرة تسمى المعادلة في شكل متعارف عليه أو متماثل.
يمكن تحويل كل منهم إلى متجه والعكس صحيح.
معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين: تقنية تجميع
العودة إلى سؤال المقال. افترض أن هناك نقطتين في الفضاء:
M (x1؛ y1؛ z1) و N (x 2؛ y2؛ z2 )
يمر من خلالها الخط المستقيم الوحيد ، ومن السهل جدًا تكوين معادلته في شكل متجه. للقيام بذلك ، نحسب إحداثيات المقطع الموجه MN¯ ، لدينا:
MN¯=N - M=(x2-x1؛ y2- y1؛ z2-z1)
ليس من الصعب تخمين أن هذا المتجه سيكون دليلاً للخط المستقيم ، الذي يجب الحصول على معادلته. مع العلم أنه يمر أيضًا عبر M و N ، يمكنك استخدام إحداثيات أي منهما لتعبير متجه. ثم تأخذ المعادلة المطلوبة الشكل:
(س ؛ ص ؛ ض)=م + λMN¯=>
(س ؛ ص ؛ ض)=(س1؛ y1؛ z1) + λ(x2-x1؛ y2-y1؛ z2-z1)
بالنسبة للحالة في الفضاء ثنائي الأبعاد ، نحصل على مساواة مماثلة دون مشاركة المتغير z.
بمجرد كتابة مساواة المتجه للخط ، يمكن ترجمتها إلى أي شكل آخر يتطلبه سؤال المشكلة.
المهمة:اكتب معادلة عامة
من المعروف أن الخط المستقيم يمر عبر النقاط ذات الإحداثيات (-1 ؛ 4) و (3 ؛ 2). من الضروري تكوين معادلة لخط مستقيم يمر من خلالها ، بشكل عام ، معبراً عن y بدلالة x.
لحل المشكلة ، نكتب المعادلة أولاً في شكل متجه. إحداثيات المتجه (الدليل) هي:
(3 ؛ 2) - (-1 ؛ 4)=(4 ؛ -2)
ثم الشكل المتجه لمعادلة الخط المستقيم هو التالي:
(س ؛ ص)=(-1 ؛ 4) +(4 ؛ -2)
ويبقى كتابتها بشكل عام بالصيغة y (x). نعيد كتابة هذه المساواة بشكل صريح ، ونعبر عن المعلمة λ ونستبعدها من المعادلة:
س=-1 + 4λ=>λ=(س + 1) / 4 ؛
y=4 - 2λ=> λ=(4-y) / 2 ؛
(س + 1) / 4=(4-ص) / 2
من المعادلة الأساسية الناتجة ، نعبر عن y ونصل إلى إجابة سؤال المشكلة:
ص=-0.5س + 3.5
يمكن التحقق من صحة هذه المساواة عن طريق استبدال إحداثيات النقاط المحددة في بيان المشكلة.
المشكلة: خط مستقيم يمر عبر مركز المقطع
الآن دعونا نحل مشكلة واحدة مثيرة للاهتمام. افترض أنه تم إعطاء نقطتين M (2 ؛ 1) و N (5 ؛ 0). من المعروف أن الخط المستقيم يمر عبر نقطة منتصف المقطع الذي يربط النقاط ويكون عموديًا عليها. اكتب معادلة خط مستقيم يمر عبر منتصف المقطع في شكل متجه.
يمكن تشكيل التعبير العددي المطلوب عن طريق حساب إحداثيات هذا المركز وتحديد متجه الاتجاه ، والذيالمقطع يجعل الزاوية 90o.
نقطة منتصف المقطع هي:
S=(M + N) / 2=(3 ، 5 ؛ 0 ، 5)
الآن دعونا نحسب إحداثيات المتجه MN¯:
MN¯=N - M=(3 ؛ -1)
بما أن متجه الاتجاه للخط المطلوب عمودي على MN¯ ، فإن حاصل ضربهم القياسي يساوي صفرًا. يتيح لك ذلك حساب الإحداثيات غير المعروفة (أ ؛ ب) لمتجه التوجيه:
أ3 - ب=0=>
ب=3أ
الآن اكتب معادلة المتجه:
(س ؛ ص)=(3 ، 5 ؛ 0 ، 5) + λ(أ ؛ 3أ)=>
(س ؛ ص)=(3 ، 5 ؛ 0 ، 5) +(1 ؛ 3)
هنا قمنا باستبدال المنتج aλ بمعامل جديد β.
وهكذا ، قمنا بعمل معادلة خط مستقيم يمر عبر مركز المقطع.
