الرياضيات ليست علمًا مملًا كما يبدو أحيانًا. لديها الكثير من الأشياء المثيرة للاهتمام ، على الرغم من أنها في بعض الأحيان غير مفهومة لأولئك الذين لا يتوقون لفهمها. سنتحدث اليوم عن أحد الموضوعات الأكثر شيوعًا وبساطة في الرياضيات ، أو بالأحرى مجالها الذي يقع على وشك الجبر والهندسة. دعنا نتحدث عن الخطوط ومعادلاتها. يبدو أن هذا موضوع مدرسي ممل ولا يعد بأي شيء مثير للاهتمام وجديد. ومع ذلك ، هذا ليس هو الحال ، وفي هذه المقالة سنحاول إثبات وجهة نظرنا لك. قبل الانتقال إلى الأكثر إثارة للاهتمام ووصف معادلة الخط المستقيم من خلال نقطتين ، سوف ننتقل إلى تاريخ كل هذه القياسات ، ثم نكتشف لماذا كان كل ذلك ضروريًا ولماذا الآن معرفة الصيغ التالية لن يؤلم أيضا.
التاريخ
حتى في العصور القديمة ، كان علماء الرياضيات مغرمين بالتركيبات الهندسية وجميع أنواع الرسوم البيانية. من الصعب اليوم تحديد من كان أول من توصل إلى معادلة الخط المستقيم عبر نقطتين. لكن يمكن الافتراض أن هذا الشخص كان إقليدس -عالم وفيلسوف يوناني قديم. كان هو الذي أدى في أطروحته "البدايات" إلى أساس الهندسة الإقليدية المستقبلية. الآن يعتبر هذا القسم من الرياضيات أساس التمثيل الهندسي للعالم ويتم تدريسه في المدرسة. لكن من الجدير بالذكر أن الهندسة الإقليدية تعمل فقط على المستوى الكلي في بعدنا ثلاثي الأبعاد. إذا أخذنا في الاعتبار الفضاء ، فليس من الممكن دائمًا أن نتخيل بمساعدة كل الظواهر التي تحدث هناك.
بعد إقليدس كان هناك علماء آخرون. وأتقنوا واستوعبوا ما اكتشفه وكتبه. في النهاية ، ظهرت مساحة مستقرة من الهندسة ، حيث لا يزال كل شيء ثابتًا. وقد ثبت منذ آلاف السنين أن معادلة الخط المستقيم عبر نقطتين سهلة للغاية وبسيطة التركيب. لكن قبل أن نبدأ في شرح كيفية القيام بذلك ، دعونا نناقش بعض النظريات.
نظرية
الخط المستقيم هو جزء لا نهائي في كلا الاتجاهين ، ويمكن تقسيمه إلى عدد لا حصر له من الأجزاء من أي طول. غالبًا ما تستخدم الرسوم البيانية لتمثيل خط مستقيم. علاوة على ذلك ، يمكن أن تكون الرسوم البيانية في أنظمة إحداثيات ثنائية وثلاثية الأبعاد. وهي مبنية وفقًا لإحداثيات النقاط التابعة لها. بعد كل شيء ، إذا نظرنا إلى الخط المستقيم ، يمكننا أن نرى أنه يتكون من عدد لا حصر له من النقاط.
ومع ذلك ، هناك شيء يختلف فيه الخط المستقيم اختلافًا كبيرًا عن أنواع الخطوط الأخرى. هذه هي معادلتها. بشكل عام ، إنها بسيطة جدًا ، على عكس معادلة الدائرة ، على سبيل المثال. بالتأكيد ، كل واحد منا مر به في المدرسة. لكنمع ذلك ، دعنا نكتب صورتها العامة: y=kx + b. في القسم التالي ، سنحلل بالتفصيل معنى كل من هذه الأحرف وكيفية حل هذه المعادلة البسيطة لخط مستقيم يمر بنقطتين.
خط المعادلة
المساواة التي تم عرضها أعلاه هي معادلة الخط المستقيم التي نحتاجها. يجدر شرح ما هو المقصود هنا. كما قد تتخيل ، y و x هما إحداثيات كل نقطة على الخط. بشكل عام ، توجد هذه المعادلة فقط لأن كل نقطة في أي خط مستقيم تميل إلى أن تكون مرتبطة بنقاط أخرى ، وبالتالي هناك قانون يربط إحداثيًا بآخر. يحدد هذا القانون كيف تبدو معادلة الخط المستقيم المار بنقطتين.
لماذا بالضبط نقطتان؟ كل هذا لأن الحد الأدنى من النقاط المطلوبة لبناء خط مستقيم في الفضاء ثنائي الأبعاد هو نقطتان. إذا أخذنا مساحة ثلاثية الأبعاد ، فإن عدد النقاط المطلوبة لبناء خط مستقيم واحد سيكون أيضًا مساويًا لنقطتين ، لأن النقاط الثلاث تشكل بالفعل مستوى.
هناك أيضًا نظرية تثبت أنه من الممكن رسم خط مستقيم واحد من خلال أي نقطتين. يمكن التحقق من هذه الحقيقة في الممارسة العملية من خلال ربط نقطتين عشوائيتين على الرسم البياني بمسطرة.
الآن دعونا نلقي نظرة على مثال محدد ونوضح كيفية حل هذه المعادلة سيئة السمعة لخط مستقيم يمر عبر نقطتين معينتين.
مثال
النظر في نقطتين من خلالالتي تحتاجها لبناء خط مستقيم. دعونا نضبط إحداثياتهم ، على سبيل المثال ، M1(2 ؛ 1) و M2(3 ؛ 2). كما نعلم من الدورة المدرسية ، فإن الإحداثي الأول هو القيمة على طول محور OX ، والثاني هو القيمة على طول محور OY. أعلاه ، تم إعطاء معادلة الخط المستقيم المار بنقطتين ، ولكي نكتشف المعلمتين المفقودتين k و b ، نحتاج إلى تكوين نظام من معادلتين. في الواقع ، ستتكون من معادلتين ، تحتوي كل منهما على ثابتين غير معروفين:
1=2 ك + ب
2=3 ك + ب
الآن يبقى أهم شيء: حل هذا النظام. يتم ذلك بكل بساطة. أولًا ، دعنا نعبر عن ب من المعادلة الأولى: ب=1-2 ك. الآن نحن بحاجة إلى استبدال المساواة الناتجة في المعادلة الثانية. يتم ذلك عن طريق استبدال b بالمساواة التي تلقيناها:
2=3 كيلو + 1-2 كيلو
1=ك ؛
الآن بعد أن عرفنا قيمة المعامل k ، حان الوقت لمعرفة قيمة الثابت التالي - b. هذا أصبح أسهل. نظرًا لأننا نعرف اعتماد b على k ، يمكننا استبدال قيمة الأخير في المعادلة الأولى ومعرفة القيمة غير المعروفة:
ب=1-21=-1.
بمعرفة كلا المعاملين ، يمكننا الآن استبدالهما في المعادلة العامة الأصلية للخط المستقيم الذي يمر بنقطتين. وهكذا ، على سبيل المثال لدينا ، نحصل على المعادلة التالية: y=x-1. هذه هي المساواة المنشودة التي كان علينا الحصول عليها
قبل الانتقال إلى الخاتمة ، دعونا نناقش تطبيق هذا القسم من الرياضيات في الحياة اليومية.
التطبيق
على هذا النحو ، فإن معادلة الخط المستقيم عبر نقطتين لا تجد التطبيق. لكن هذا لا يعني أننا لسنا بحاجة إليه. في الفيزياء والرياضياتيتم استخدام معادلات الخطوط والخصائص التي تليها بنشاط كبير. قد لا تلاحظ ذلك ، لكن الرياضيات تحيط بنا في كل مكان. وحتى الموضوعات التي تبدو غير ملحوظة مثل معادلة الخط المستقيم عبر نقطتين تبين أنها مفيدة جدًا وغالبًا ما يتم تطبيقها على مستوى أساسي. إذا بدا للوهلة الأولى أن هذا لا يمكن أن يكون مفيدًا في أي مكان ، فأنت مخطئ. تطور الرياضيات التفكير المنطقي ، والذي لن يكون أبدًا غير ضروري.
الخلاصة
الآن بعد أن توصلنا إلى كيفية رسم خطوط من نقطتين معينتين ، من السهل علينا الإجابة على أي سؤال متعلق بهذا. على سبيل المثال ، إذا قال لك المعلم: "اكتب معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين" ، فلن يكون من الصعب عليك القيام بذلك. نأمل أن تكون قد وجدت هذه المقالة مفيدة.
