من أصعب الموضوعات التي يصعب فهمها في الرياضيات الجامعية هو التكامل وحساب التفاضل. تحتاج إلى معرفة وفهم هذه المفاهيم ، وكذلك أن تكون قادرًا على تطبيقها. ترتبط العديد من التخصصات التقنية بالجامعة بالتفاضل والتكامل.
معلومات موجزة عن المعادلات
هذه المعادلات من أهم المفاهيم الرياضية في النظام التعليمي. المعادلة التفاضلية هي معادلة تربط المتغيرات المستقلة ، والدالة التي سيتم إيجادها ، ومشتقات تلك الوظيفة بالمتغيرات التي يُفترض أنها مستقلة. يسمى حساب التفاضل لإيجاد دالة لمتغير واحد عادي. إذا كانت الوظيفة المرغوبة تعتمد على عدة متغيرات ، فإن المرء يتحدث عن معادلة تفاضلية جزئية.
في الواقع ، فإن العثور على إجابة معينة للمعادلة يعود إلى التكامل ، ويتم تحديد طريقة الحل حسب نوع المعادلة.
معادلات من الدرجة الأولى
المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى هي معادلة يمكن أن تصف متغيرًا ، ووظيفة مرغوبة ، ومشتقها الأول. يمكن إعطاء مثل هذه المعادلات في ثلاثة أشكال: صريحة ، ضمنية ، تفاضلية.
المفاهيم اللازمة لحل
الشرط الأولي - تحديد قيمة الوظيفة المطلوبة لقيمة معينة لمتغير مستقل.
حل المعادلة التفاضلية - أي دالة قابلة للتفاضل ، يتم استبدالها بالضبط في المعادلة الأصلية ، تحولها إلى مساوية مماثلة. الحل الذي تم الحصول عليه ، وهو غير صريح ، هو جزء لا يتجزأ من المعادلة.
الحل العام للمعادلات التفاضلية هو دالة y=y (x؛ C) ، والتي يمكن أن تفي بالأحكام التالية:
- يمكن أن تحتوي الوظيفة على ثابت تعسفي واحد فقط С.
- يجب أن تكون الوظيفة الناتجة حلاً للمعادلة لأي قيم عشوائية للثابت التعسفي.
- مع شرط أولي معين ، يمكن تعريف الثابت التعسفي بطريقة فريدة بحيث يكون الحل المعين الناتج متسقًا مع الشرط الأولي المحدد.
من الناحية العملية ، غالبًا ما يتم استخدام مشكلة كوشي - لإيجاد حل خاص ويمكن مقارنته بالشرط المحدد في البداية.
نظرية كوشي هي نظرية تؤكد وجود وتفرد حل معين في حساب التفاضل.
المعنى الهندسي:
- الحل العام y=y (x؛ C)المعادلة هي العدد الإجمالي للمنحنيات المتكاملة.
- يسمح لك حساب التفاضل التفاضلي بتوصيل إحداثيات نقطة في مستوى XOY والماس المرسوم على المنحنى المتكامل.
- ضبط الحالة الأولية يعني تعيين نقطة على المستوى.
- لحل مشكلة كوشي يعني أنه من مجموعة المنحنيات المتكاملة التي تمثل نفس حل المعادلة ، من الضروري تحديد الوحيد الذي يمر عبر النقطة الوحيدة الممكنة.
- استيفاء شروط نظرية كوشي عند نقطة ما يعني أن منحنى متكامل (علاوة على ذلك ، واحد فقط) يمر بالضرورة عبر النقطة المختارة في المستوى.
معادلة متغيرة منفصلة
حسب التعريف ، المعادلة التفاضلية هي معادلة يصف جانبها الأيمن أو ينعكس كمنتج (أحيانًا نسبة) من وظيفتين ، واحدة تعتمد فقط على "x" والأخرى - فقط على "y" ". مثال واضح لهذا النوع: y '=f1 (x)f2 (y).
لحل المعادلات بصيغة معينة ، يجب عليك أولاً تحويل المشتق y '=dy / dx. بعد ذلك ، بمعالجة المعادلة ، تحتاج إلى إحضارها إلى صيغة حيث يمكنك دمج جزأي المعادلة. بعد التحولات اللازمة ، نقوم بدمج كلا الجزأين وتبسيط النتيجة.
معادلات متجانسة
حسب التعريف ، يمكن تسمية المعادلة التفاضلية متجانسة إذا كانت بالصيغة التالية: y '=g (y / x).
في هذه الحالة ، يتم استخدام الاستبدال y / x=في أغلب الأحيانر (س).
لحل مثل هذه المعادلات ، من الضروري تقليل المعادلة المتجانسة إلى نموذج ذي متغيرات قابلة للفصل. للقيام بذلك ، يجب إجراء العمليات التالية:
- عرض ، معبراً عن مشتق الوظيفة الأصلية ، من أي دالة أصلية كمعادلة جديدة.
- الخطوة التالية هي تحويل الوظيفة الناتجة إلى الشكل f (x ؛ y)=g (y / x). بكلمات أبسط ، اجعل المعادلة تحتوي فقط على النسبة y / x والثوابت.
- قم بإجراء الاستبدال التالي: y / x=t (x) ؛ ص=ت (س)س ؛ y '=t'x + t. سيساعد الاستبدال الذي تم إجراؤه على قسمة المتغيرات في المعادلة ، وجعلها تدريجيًا في شكل أبسط.
المعادلات الخطية
تعريف هذه المعادلات هو كما يلي: المعادلة التفاضلية الخطية هي معادلة حيث يتم التعبير عن جانبها الأيمن كتعبير خطي فيما يتعلق بالدالة الأصلية. الوظيفة المطلوبة في هذه الحالة: y '=a (x)y + b (x).
دعونا نعيد صياغة التعريف على النحو التالي: أي معادلة من الترتيب الأول ستصبح خطية في شكلها إذا تم تضمين الوظيفة الأصلية ومشتقاتها في معادلة الدرجة الأولى ولم يتم ضربهما في بعضهما البعض. يحتوي "الشكل الكلاسيكي" للمعادلة التفاضلية الخطية على الهيكل التالي: y '+ P (x) y=Q (x).
قبل حل مثل هذه المعادلة ، يجب تحويلها إلى "الشكل الكلاسيكي". ستكون الخطوة التالية هي اختيار طريقة الحل: طريقة برنولي أو طريقة لاغرانج.
حل المعادلة معباستخدام الطريقة التي قدمها برنولي ، يعني استبدال وتقليل المعادلة التفاضلية الخطية إلى معادلتين مع متغيرات منفصلة تتعلق بالوظائف U (x) و V (x) ، والتي تم تقديمها في شكلها الأصلي.
طريقة لاغرانج هي إيجاد حل عام للمعادلة الأصلية.
- من الضروري إيجاد نفس الحل للمعادلة المتجانسة. بعد البحث ، لدينا الدالة y=y (x، C) ، حيث C ثابت اعتباطي.
- نبحث عن حل للمعادلة الأصلية بنفس الصيغة ، لكننا نعتبر C=C (x). نعوض بالدالة y=y (x، C (x)) في المعادلة الأصلية ، ونجد الدالة C (x) ونكتب حل المعادلة الأصلية العامة.
معادلة برنولي
معادلة برنولي - إذا كان الجانب الأيمن من حساب التفاضل والتكامل يأخذ الشكل f (x ؛ y)=a (x) y + b (x) yk ، حيث k هي أي قيمة عددية منطقية محتملة ، لا تأخذ مثال على الحالات عندما k=0 و k=1.
إذا كان k=1 ، يصبح حساب التفاضل والتكامل قابلاً للفصل ، وعندما k=0 ، تظل المعادلة خطية.
دعونا ننظر في الحالة العامة لحل هذا النوع من المعادلات. لدينا معادلة برنولي القياسية. يجب اختزالها إلى خطية ، لذلك تحتاج إلى قسمة المعادلة على yk. بعد هذه العملية ، استبدل z (x)=y1-k. بعد سلسلة من التحويلات ، سيتم تقليل المعادلة إلى معادلة خطية ، غالبًا بطريقة الاستبدال z=UV.
المعادلات في مجموع الفروق
التعريف. تسمى المعادلة ذات البنية P (x ؛ y) dx + Q (x ؛ y) dy=0 معادلة كاملةالفروق ، إذا تم استيفاء الشرط التالي (في هذه الحالة ، يكون "d" تفاضلًا جزئيًا): dP (x؛ y) / dy=dQ (x؛ y) / dx.
يمكن عرض جميع المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى التي تم النظر فيها سابقًا على هيئة تفاضلات.
يتم حل هذه الحسابات بعدة طرق. لكن ، مع ذلك ، فإنهم جميعًا يبدأون بفحص الحالة. إذا تم استيفاء الشرط ، فإن المنطقة الواقعة في أقصى اليسار من المعادلة هي التفاضل الكلي للوظيفة غير المعروفة حتى الآن U (x ؛ y). بعد ذلك ، وفقًا للمعادلة ، سيكون dU (x ؛ y) مساويًا للصفر ، وبالتالي سيتم عرض نفس تكامل المعادلة في إجمالي الفروق في النموذج U (x ؛ y) u003d C. لذلك ، يتم تقليل حل المعادلة لإيجاد الدالة U (x ؛ y).
عامل التكامل
إذا كان الشرط dP (x ؛ y) / dy=dQ (x ؛ y) / dx غير راضٍ في المعادلة ، فإن المعادلة لا تحتوي على الشكل الذي اعتبرناه أعلاه. لكن في بعض الأحيان يكون من الممكن اختيار بعض الوظائف M (س ؛ ص) ، عندما يتم ضرب المعادلة التي تأخذ شكل معادلة كاملة "فرق". يشار إلى الوظيفة M (x ؛ y) كعامل التكامل.
يمكن العثور على المُدمج فقط عندما يصبح دالة لمتغير واحد فقط.
