سلسلة Maclaurin وتوسيع بعض الوظائف

2024 مؤلف: Angel Austin | [email protected]. آخر تعديل: 2023-12-17 05:16

يجب أن يدرك طلاب الرياضيات العليا أن مجموع بعض سلاسل القوى التي تنتمي إلى فترة التقارب في سلسلة معينة يتضح أنه دالة مستمرة وغير محدودة من المرات المتباينة. السؤال الذي يطرح نفسه: هل من الممكن التأكيد على أن دالة تعسفية معينة f (x) هي مجموع بعض سلاسل القوى؟ أي تحت أي ظروف يمكن تمثيل الدالة f (x) بسلسلة قوى؟ تكمن أهمية هذا السؤال في حقيقة أنه من الممكن استبدال الدالة f (x) تقريبًا بمجموع البنود القليلة الأولى من سلسلة الأس ، أي بواسطة كثير الحدود. مثل هذا الاستبدال للدالة بتعبير بسيط إلى حد ما - متعدد الحدود - مناسب أيضًا عند حل بعض مشكلات التحليل الرياضي ، أي: عند حل التكاملات ، عند حساب المعادلات التفاضلية ، إلخ.

لقد ثبت أنه بالنسبة لبعض الوظائف f (х) حيث يمكن حساب المشتقات حتى (n + 1) ، بما في ذلك آخر واحد ، في الحي (α_{- R ؛ س}0_{+ R) من نقطة ما س=α الصيغة صالحة:}

سميت هذه الصيغة على اسم العالم الشهير بروك تايلور. السلسلة التي تم الحصول عليها من السلسلة السابقة تسمى سلسلة Maclaurin:

القاعدة التي تجعل من الممكن التوسع في سلسلة Maclaurin:

1. تحديد مشتقات الأوامر الأول ، الثاني ، الثالث …
2. احسب ما تساوي المشتقات عند x=0.
3. سجل سلسلة Maclaurin لهذه الوظيفة ، ثم حدد الفاصل الزمني لتقاربها.
4. تحديد الفاصل الزمني (-R ؛ R) حيث باقي صيغة Maclaurin

R (x) -> 0 لـ n -> اللانهاية. في حالة وجود واحد ، يجب أن تتطابق الوظيفة f (x) فيها مع مجموع سلسلة Maclaurin.

الآن ضع في اعتبارك سلسلة Maclaurin للوظائف الفردية.

1. لذا ، فإن أول واحد سيكون f (x)=e^x. بالطبع ، وفقًا لميزاتها ، تحتوي هذه الوظيفة على مشتقات من أوامر مختلفة ، و f^(k)(x)=e^x، حيث k يساوي الكل الأعداد الطبيعية. لنعوض ب x=0. نحصل على f^(k)(0)=e⁰=1، k=1، 2… ^{سيبدو هكذا:}

2. سلسلة Maclaurin للدالة f (x)=sin x. وضح على الفور أن الوظيفة لجميع المجهول سيكون لها مشتقات ، إلى جانب f^' (x)=cos x=sin (x + n / 2) ، f ^{' '(x)=-sin x=sin (x + 2n / 2) … f}(k)^{(x)=sin (x + kn / 2) ، حيث k يساوي أي عدد طبيعي. أي ، بعد إجراء حسابات بسيطة ، يمكننا التوصل إلى استنتاج مفاده أن سلسلة f (x)=sin x ستبدو كما يلي:}

3. لنحاول الآن التفكير في الدالة f (x)=cos x. إنها مع كل المجهولله مشتقات من الترتيب التعسفي ، و | f^(k)(x) |=| cos (x + kp / 2) | <=1، k=1، 2 … مرة أخرى ، بعد إجراء بعض العمليات الحسابية ، حصلنا على أن سلسلة f (x)=cos x ستبدو كما يلي:

لذا ، قمنا بإدراج أهم الوظائف التي يمكن توسيعها في سلسلة Maclaurin ، لكنها تكملها سلسلة Taylor لبعض الوظائف. الآن سنقوم بإدراجهم. من الجدير بالذكر أيضًا أن سلسلة Taylor و Maclaurin هي جزء مهم من ممارسة حل السلاسل في الرياضيات العليا. لذا سلسلة تايلور

1. الأول سيكون سلسلة من أجل f-ii f (x)=ln (1 + x). كما في الأمثلة السابقة ، بالنظر إلى f (x)=ln (1 + x) ، يمكننا إضافة سلسلة باستخدام الشكل العام لسلسلة Maclaurin. ومع ذلك ، بالنسبة لهذه الوظيفة ، يمكن الحصول على سلسلة Maclaurin بشكل أكثر بساطة. بعد دمج سلسلة هندسية معينة ، نحصل على سلسلة لـ f (x)=ln (1 + x) من هذه العينة:

2. والثاني ، الذي سيكون نهائيًا في مقالتنا ، سيكون سلسلة لـ f (x) u003d arctg x. بالنسبة إلى x التي تنتمي إلى الفترة [-1 ؛ 1] ، يكون التوسع صالحًا:

هذا كل شيء. تناولت هذه المقالة سلسلة تايلور وماكلورين الأكثر استخدامًا في الرياضيات العليا ، على وجه الخصوص ، في الجامعات الاقتصادية والتقنية.