ما هي المتغيرات؟ متغير في الرياضيات

2024 مؤلف: Angel Austin | [email protected]. آخر تعديل: 2024-01-02 17:40

أهمية المتغيرات في الرياضيات كبيرة ، لأنه خلال وجودها تمكن العلماء من القيام بالعديد من الاكتشافات في هذا المجال ، ومن أجل توضيح هذه النظرية أو تلك بشكل موجز وواضح ، نستخدم المتغيرات لكتابة الصيغ المقابلة. على سبيل المثال ، نظرية فيثاغورس على مثلث قائم الزاوية: أ²=ب²+ c^{2. كيف نكتب في كل مرة عند حل مشكلة: وفقًا لنظرية فيثاغورس ، مربع الوتر يساوي مجموع مربعات الساقين - نكتب هذا باستخدام صيغة ، ويتضح كل شيء على الفور.}

إذن ، ستناقش هذه المقالة ماهية المتغيرات وأنواعها وخصائصها. سيتم أيضًا مراعاة التعبيرات الرياضية المختلفة: عدم المساواة والصيغ والأنظمة والخوارزميات لحلها.

مفهوم المتغير

بادئ ذي بدء ، ما هو المتغير؟ هذه قيمة عددية يمكن أن تأخذ العديد من القيم. لا يمكن أن يكون ثابتًا ، لأنه في المشكلات والمعادلات المختلفة ، للراحة ، نأخذ الحلول على أنهاأرقام مختلفة متغيرة ، على سبيل المثال ، z هي تسمية عامة لكل من الكميات التي يتم أخذها من أجلها. عادة ما يتم الإشارة إليها بأحرف لاتينية أو يونانية (x ، y ، a ، b ، وهكذا).

هناك أنواع مختلفة من المتغيرات. قاموا بتعيين بعض الكميات المادية - المسار (S) والوقت (t) والقيم غير المعروفة في المعادلات والوظائف والتعبيرات الأخرى.

على سبيل المثال ، هناك صيغة: S=Vt. هنا ، تشير المتغيرات إلى كميات معينة تتعلق بالعالم الحقيقي - المسار والسرعة والوقت.

ويوجد معادلة بالصيغة: 3x - 16=12x. هنا ، x مأخوذ بالفعل كرقم مجردة يكون منطقيًا في هذا الترميز.

أنواع الكميات

المبلغ يعني شيئًا يعبر عن خصائص كائن أو مادة أو ظاهرة معينة. على سبيل المثال ، درجة حرارة الهواء ، ووزن الحيوان ، والنسبة المئوية للفيتامينات في الجهاز اللوحي - هذه كلها كميات يمكن حساب قيمها العددية.

لكل كمية وحدات قياس خاصة بها ، والتي تشكل معًا نظامًا. يطلق عليه نظام الأرقام (SI).

ما هي المتغيرات والثوابت؟ اعتبرهم مع أمثلة محددة.

لنأخذ حركة موحدة مستقيمة. تتحرك نقطة في الفضاء بنفس السرعة في كل مرة. أي أن الوقت والمسافة يتغيران ، لكن السرعة تظل كما هي. في هذا المثال ، الوقت والمسافة متغيران ، والسرعة ثابتة.

أو ، على سبيل المثال ، "بي". هذا رقم غير منطقي يستمر دون تكرارسلسلة من الأرقام ولا يمكن كتابتها بالكامل ، لذلك في الرياضيات يتم التعبير عنها برمز مقبول بشكل عام يأخذ فقط قيمة كسر لانهائي معين. وهذا يعني أن "pi" قيمة ثابتة.

التاريخ

يبدأ تاريخ تدوين المتغيرات في القرن السابع عشر مع العالم رينيه ديكارت.

عيّن القيم المعروفة بالأحرف الأولى من الأبجدية: أ ، ب وما إلى ذلك ، وبالنسبة للمجهول اقترح استخدام الأحرف الأخيرة: x ، y ، z. من الجدير بالذكر أن ديكارت اعتبر هذه المتغيرات أرقامًا غير سالبة ، وعندما يواجه معامِلات سالبة ، يضع علامة ناقص أمام المتغير أو ، إذا لم يكن معروفًا ما هي علامة الرقم ، علامة حذف. لكن مع مرور الوقت ، بدأت أسماء المتغيرات تشير إلى أرقام أي علامة ، وبدأ هذا مع عالم الرياضيات يوهان هود.

مع المتغيرات ، من السهل حل الحسابات في الرياضيات ، لأنه ، على سبيل المثال ، كيف يمكننا حل المعادلات ثنائية التكافؤ الآن؟ ندخل متغير. على سبيل المثال:

x⁴+ 15x^{2+ 7=0}

بالنسبة إلى x2نأخذ بعض k ، وتصبح المعادلة واضحة:

x2=k ، لـ k ≧ 0

ك2+ 15k + 7=0

هذا ما تجلبه مقدمة المتغيرات للرياضيات.

عدم المساواة ، أمثلة على الحلول

المتباينة هي سجل يتم فيه ربط تعبيرين رياضيين أو رقمين عن طريق علامات المقارنة: ، ≦ ، ≧. إنها صارمة ويشار إليها بعلامات أو غير صارمة بعلامات ≦ ، ≧.

لأول مرة يتم عرض هذه العلاماتتوماس هاريوت. بعد وفاة توماس ، نُشر كتابه الذي يحتوي على هذه الرموز ، وقد أحبهم علماء الرياضيات ، وبمرور الوقت أصبحوا مستخدمين على نطاق واسع في الحسابات الرياضية.

هناك عدة قواعد يجب اتباعها عند حل عدم المساواة المتغير الفردي:

عند نقل رقم من جزء من المتباينة إلى جزء آخر ، قم بتغيير علامته إلى العكس.
عند ضرب أو قسمة أجزاء من المتباينة على رقم سالب ، تنعكس إشاراتها.
إذا ضربت أو قسمت طرفي المتباينة على رقم موجب ، ستحصل على متباينة تساوي المتراجحة الأصلية.

حل المتباينة يعني إيجاد جميع القيم الصالحة للمتغير.

مثال متغير واحد:

10x - 50 >150

نحلها مثل المعادلة الخطية العادية - ننقل المصطلحات بمتغير إلى اليسار ، بدون متغير - إلى اليمين ونعطي مصطلحات مماثلة:

10x > 200

نقسم طرفي عدم المساواة على 10 ونحصل على:

x > 20

من أجل الوضوح ، في مثال حل متباينة بمتغير واحد ، ارسم خط رقم ، ضع علامة على النقطة المثقوبة 20 عليها ، لأن المتباينة صارمة ، وهذا الرقم غير مدرج في مجموعة حلولها

حل هذه المتباينة هو الفترة (20 ؛ + ∞).

يتم تنفيذ حل عدم المساواة غير الصارمة بنفس طريقة حل عدم المساواة الصارمة:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

س ≧ 5

لكن هناك استثناء واحد. يجب فهم سجل بالصيغة x ≧ 5 على النحو التالي: x أكبر من أو يساوي خمسة ، مما يعنيالرقم خمسة مشمول في مجموعة حلول المتباينة ، أي عند كتابة الإجابة ، نضع قوسًا مربعًا أمام الرقم خمسة.

س ∈ [5 ؛ + ∞)

مربع عدم المساواة

إذا أخذنا معادلة تربيعية للصيغة ax2+ bx + c=0 وقمنا بتغيير علامة المساواة إلى علامة عدم المساواة الموجودة فيها ، فسنحصل وفقًا لذلك على عدم المساواة التربيعية.

لحل عدم المساواة التربيعية ، يجب أن تكون قادرًا على حل المعادلات التربيعية.

y=ax2+ bx + c دالة تربيعية. يمكننا حلها باستخدام المميز ، أو باستخدام نظرية فييتا. تذكر كيف يتم حل هذه المعادلات:

1) y=x2+ 12x + 11 - الوظيفة هي القطع المكافئ. تتجه فروعها لأعلى ، لأن علامة المعامل "a" موجبة.

2) x2+ 12x + 11=0 - يساوي الصفر ويحل باستخدام المميز.

أ=1 ، ب=12 ، ج=11

D=ب2- 4ac=144-44=100 > 0 ، 2 جذور

وفقًا لصيغة جذور المعادلة التربيعية ، نحصل على:

x₁=-1 ، x_2=-11

أو يمكنك حل هذه المعادلة باستخدام نظرية فييتا:

x₁+ x₂=-b / a ، x₁+ x_2=-12

x₁x₂=c / a، x₁x₂₌₁₁

باستخدام طريقة التحديد ، نحصل على نفس جذور المعادلة.

مكافئ

إذن ، الطريقة الأولى لحل المتباينة التربيعية هي القطع المكافئ. خوارزمية حلها كالتالي:

1. تحديد اتجاه فروع القطع المكافئ

2.مساواة الدالة بالصفر وإيجاد جذور المعادلة.

3. نبني خط الأعداد ، ونضع الجذور عليه ، ونرسم القطع المكافئ ونجد الفجوة التي نحتاجها ، اعتمادًا على علامة المتباينة.

حل المتباينة x2+ x - 12 > 0

اكتب كدالة:

1) y=x2+ x - 12 - القطع المكافئ ، الفروع لأعلى.

اضبط على الصفر.

2) x2+ x -12=0

بعد ذلك ، نحلها كمعادلة تربيعية ونجد أصفار الوظيفة:

x₁=3 ، x_2=-4

3) ارسم خط الأعداد بالنقطتين 3 و -4 عليه. سيمر القطع المكافئ من خلالها ، ويتفرع إلى أعلى وستكون الإجابة على عدم المساواة مجموعة من القيم الموجبة ، أي (-∞ ؛ -4) ، (3 ؛ + ∞).

طريقة الفاصل الزمني

الطريقة الثانية هي طريقة التباعد. خوارزمية لحلها:

1. أوجد جذور المعادلة التي فيها المتباينة تساوي صفرًا.

2. نحتفل بها على خط الأعداد. وبالتالي ، يتم تقسيمها إلى عدة فترات.

3. حدد علامة أي فاصل.

4. نضع اللافتات على الفترات المتبقية ونغيرها بعد واحدة.

حل المتباينة (x - 4) (x - 5) (x + 7) ≦ 0

1) أصفار عدم المساواة: 4 و 5 و -7.

2) ارسمهم على خط الأعداد

3) تحديد علامات الفواصل

إجابة: (-∞ ؛ -7] ؛ [4 ؛ 5].

حل متباينة أخرى: x2(3x - 6) (x + 2) (x - 1) > 0

1. أصفار عدم المساواة: 0 ، 2 ، -2 و 1.

2. ضع علامة عليها على خط الأعداد

3.تحديد علامات الفاصل.

الخط مقسم إلى فترات زمنية - من -2 إلى 0 ، من 0 إلى 1 ، من 1 إلى 2.

خذ القيمة في الفترة الأولى - (-1). عوض في عدم المساواة. بهذه القيمة تصبح المتباينة موجبة ، ما يعني أن الإشارة على هذه الفترة ستكون +.

علاوة على ذلك ، بدءًا من الفجوة الأولى ، نرتب العلامات ، ونغيرها بعد واحدة.

عدم المساواة أكبر من الصفر ، أي أنك تحتاج إلى إيجاد مجموعة من القيم الموجبة على الخط.

الجواب: (-2 ؛ 0) ، (1 ؛ 2).

أنظمة المعادلات

نظام المعادلات مع متغيرين هو معادلتان مرتبطتان بقوس مجعد ومن الضروري إيجاد حل مشترك لهما.

يمكن أن تكون الأنظمة متكافئة إذا كان الحل العام لأحدهما هو حل الآخر ، أو كلاهما ليس له حل.

سوف ندرس حل أنظمة المعادلات بمتغيرين. هناك طريقتان لحلها - طريقة الاستبدال أو الطريقة الجبرية.

الطريقة الجبرية

لحل النظام الموضح في الصورة باستخدام هذه الطريقة ، يجب عليك أولاً ضرب أحد أجزائه بهذا الرقم ، بحيث يمكنك لاحقًا إلغاء متغير واحد بشكل متبادل من كلا الجزأين من المعادلة. هنا نضرب في ثلاثة ، ونرسم خطًا أسفل النظام ونجمع أجزائه. نتيجة لذلك ، أصبحت x متطابقة في المقياس ، لكنها متقابلة في الإشارة ، ونختصرها. بعد ذلك ، نحصل على معادلة خطية بمتغير واحد ونحلها.

وجدنا Y ، لكن لا يمكننا التوقف عند هذا الحد ، لأننا لم نعثر على X بعد. استبدلY للجزء الذي سيكون مناسبًا لسحب X منه ، على سبيل المثال:

-x + 5y=8 ، مع y=1

-x + 5=8

حل المعادلة الناتجة وابحث عن x.

-x=-5 + 8

-x=3

س=-3

الشيء الرئيسي في حل النظام هو تدوين الإجابة بشكل صحيح. يخطئ العديد من الطلاب في الكتابة:

الإجابة: -3 ، 1.

لكن هذا إدخال خاطئ. بعد كل شيء ، كما ذكرنا سابقًا ، عند حل نظام المعادلات ، فإننا نبحث عن حل عام لأجزائه. ستكون الإجابة الصحيحة:

(- 3 ؛ 1)