هذه الأشكال الهندسية تحيط بنا في كل مكان. يمكن أن تكون المضلعات المحدبة طبيعية ، مثل قرص العسل ، أو اصطناعية (من صنع الإنسان). تستخدم هذه الأشكال في إنتاج أنواع مختلفة من الطلاءات ، في الرسم ، والهندسة المعمارية ، والديكورات ، إلخ. تمتلك المضلعات المحدبة خاصية أن جميع نقاطها تقع على نفس الجانب من الخط المستقيم الذي يمر عبر زوج من الرؤوس المجاورة لهذا الشكل الهندسي. هناك تعريفات أخرى كذلك. يسمى المضلع محدب إذا كان يقع في نصف مستوى واحد بالنسبة لأي خط مستقيم يحتوي على أحد جوانبه.
المضلعات المحدبة
في سياق الهندسة الأولية ، يتم دائمًا اعتبار المضلعات البسيطة فقط. لفهم كل خصائص هذاالأشكال الهندسية لا بد من فهم طبيعتها. بادئ ذي بدء ، يجب أن يكون مفهوماً أن أي سطر يسمى مغلقًا تتطابق نهاياته. علاوة على ذلك ، يمكن أن يحتوي الشكل الذي تشكله على مجموعة متنوعة من التكوينات. المضلع عبارة عن خط بسيط مغلق متقطع ، حيث لا توجد الروابط المجاورة على نفس الخط المستقيم. روابطها ورؤوسها هي ، على التوالي ، جوانب ورؤوس هذا الشكل الهندسي. يجب ألا تحتوي الخطوط المتعددة البسيطة على تقاطعات ذاتية.
تسمى رؤوس المضلع بالمجاورة إذا كانت تمثل نهايات أحد جوانبها. الشكل الهندسي الذي يحتوي على العدد التاسع للرؤوس ، وبالتالي العدد التاسع من الأضلاع ، يسمى n-gon. يُطلق على الخط المكسور نفسه حدود أو محيط هذا الشكل الهندسي. يسمى المستوى متعدد الأضلاع أو المضلع المسطح بالجزء الأخير من أي مستوى يحده. تسمى الجوانب المجاورة لهذا الشكل الهندسي أجزاء من خط متقطع ينبثق من رأس واحد. لن يكونوا متجاورين إذا أتوا من رؤوس مختلفة للمضلع.
تعريفات أخرى للمضلعات المحدبة
في الهندسة الأولية ، هناك العديد من التعريفات المكافئة التي تشير إلى أي مضلع يسمى محدب. كل هذه العبارات صحيحة بنفس القدر. يعتبر المضلع محدبًا إذا:
• كل جزء يربط أي نقطتين بداخله يقع بالكامل داخله ؛
• بداخلهكل أقطارها تكمن ؛
• أي زاوية داخلية لا تتعدى 180 درجة
يقسم المضلع دائمًا المستوى إلى جزأين. أحدهما محدود (يمكن وضعه في دائرة) والآخر غير محدود. الأول يسمى المنطقة الداخلية ، والثاني هو المنطقة الخارجية لهذا الشكل الهندسي. هذا المضلع هو تقاطع (بمعنى آخر ، مكون شائع) لعدة أنصاف مستويات. علاوة على ذلك ، فإن كل جزء ينتهي عند نقاط تنتمي إلى المضلع ينتمي إليه بالكامل.
أنواع مختلفة من المضلعات المحدبة
لا يشير تعريف المضلع المحدب إلى وجود أنواع كثيرة منها. ولكل منهم معايير معينة. لذلك ، تسمى المضلعات المحدبة التي لها زاوية داخلية 180 درجة محدبة ضعيفة. الشكل الهندسي المحدب الذي يحتوي على ثلاثة رؤوس يسمى مثلث ، أربعة - رباعي ، خمسة - خماسي ، إلخ. كل من n-gons المحدبة تفي بالمتطلبات الأساسية التالية: يجب أن تكون n مساوية أو أكبر من 3. كل من المثلثات محدبة. يسمى الشكل الهندسي من هذا النوع ، حيث توجد جميع الرؤوس على نفس الدائرة ، منقوشًا في دائرة. يسمى المضلع المحدب مقيدًا إذا لمسته جميع جوانبه القريبة من الدائرة. يُقال إن مضلعين متساويين فقط إذا كان من الممكن تراكبهما عن طريق التراكب. يسمى مضلع المستوى بالمستوى المضلع.(جزء من المستوي) المحدد بهذا الشكل الهندسي.
المضلعات المنتظمة المحدبة
المضلعات المنتظمة هي أشكال هندسية بزوايا وجوانب متساوية. يوجد بداخلها نقطة 0 ، وهي على نفس المسافة من كل رأس من رؤوسها. يطلق عليه مركز هذا الشكل الهندسي. تسمى الأجزاء التي تربط المركز برؤوس هذا الشكل الهندسي بـ apothems ، وتلك التي تربط النقطة 0 بالجوانب تسمى نصف القطر.
الشكل الرباعي العادي هو مربع. يسمى المثلث المتساوي الأضلاع بمثلث متساوي الأضلاع. بالنسبة لمثل هذه الأشكال ، توجد القاعدة التالية: كل ركن من أركان مضلع محدب يساوي 180 درجة(n-2) / n ،
حيث n هو عدد رؤوس هذا الشكل الهندسي المحدب.
يتم تحديد مساحة أي مضلع عادي بالصيغة:
S=ph،
حيث p هو نصف مجموع جميع جوانب المضلع المحدد و h هو طول الفاصل.
خصائص المضلعات المحدبة
المضلعات المحدبة لها خصائص معينة. لذلك ، فإن الجزء الذي يربط أي نقطتين من هذا الشكل الهندسي موجود بالضرورة فيه. الدليل:
افترض أن P مضلع محدب معطى. نأخذ نقطتين تعسفيتين ، على سبيل المثال ، A ، B ، والتي تنتمي إلى P. وفقًا للتعريف الحالي لمضلع محدب ، تقع هذه النقاط على نفس الجانب من الخط الذي يحتوي على أي جانب من جوانب P.لذلك ، يمتلك AB أيضًا هذه الخاصية وهو موجود في P. يمكن دائمًا تقسيم المضلع المحدب إلى عدة مثلثات بواسطة جميع الأقطار المرسومة من أحد رؤوسه.
زوايا الأشكال الهندسية المحدبة
زوايا المضلع المحدب هي الزوايا التي تتكون من جوانبها. تقع الزوايا الداخلية في المنطقة الداخلية لشكل هندسي معين. تسمى الزاوية التي تتشكل من جوانبها التي تتقارب عند قمة واحدة بزاوية المضلع المحدب. تسمى الزوايا المجاورة للزوايا الداخلية لشكل هندسي معين بالزوايا الخارجية. كل ركن من أركان المضلع المحدب الموجود بداخله هو:
180 درجة - س ،
حيث x هي قيمة الزاوية الخارجية. تعمل هذه الصيغة البسيطة مع أي أشكال هندسية من هذا النوع.
بشكل عام بالنسبة للزوايا الخارجية هناك القاعدة التالية: كل زاوية في مضلع محدب تساوي الفرق بين 180 درجة وقيمة الزاوية الداخلية. يمكن أن تحتوي على قيم تتراوح من -180 درجة إلى 180 درجة. لذلك عندما تكون الزاوية الداخلية 120 درجة تكون الزاوية الخارجية 60 درجة.
مجموع زوايا المضلعات المحدبة
يتم تعيين مجموع الزوايا الداخلية لمضلع محدب بواسطة الصيغة:
180 درجة(ن -2) ،
حيث n هو عدد رؤوس n-gon.
من السهل حساب مجموع زوايا المضلع المحدب. فكر في أي شكل هندسي من هذا القبيل. لتحديد مجموع الزوايا داخل مضلع محدب ، من الضروريقم بتوصيل أحد رؤوسه بالرؤوس الأخرى. نتيجة لهذا الإجراء ، يتم الحصول على مثلثات (ن -2). نعلم أن مجموع زوايا أي مثلث يساوي دائمًا 180 درجة. نظرًا لأن عددهم في أي مضلع هو (n-2) ، فإن مجموع الزوايا الداخلية لهذا الشكل هو 180 درجة × (ن -2).
مجموع زوايا المضلع المحدب ، أي أي زاويتين داخليتين وخارجيتين متجاورتين ، لشكل هندسي محدب ، سيكون دائمًا يساوي 180 درجة. بناءً على ذلك ، يمكنك تحديد مجموع كل زواياه:
180 × n.
مجموع الزوايا الداخلية 180 درجة(ن -2). بناءً على ذلك ، يتم تعيين مجموع جميع الزوايا الخارجية لهذا الشكل بواسطة الصيغة:
180 °n-180 ° - (n-2)=360 درجة
مجموع الزوايا الخارجية لأي مضلع محدب سيكون دائمًا 360 درجة (بغض النظر عن عدد الأضلاع).
يتم تمثيل الزاوية الخارجية لمضلع محدب بشكل عام بالفرق بين 180 درجة وقيمة الزاوية الداخلية.
خصائص أخرى لمضلع محدب
بالإضافة إلى الخصائص الأساسية لهذه الأشكال الهندسية ، لديهم أخرى تنشأ عند التلاعب بها. لذلك ، يمكن تقسيم أي من المضلعات إلى عدة مضلعات n محدبة. للقيام بذلك ، من الضروري الاستمرار في كل جانب من جوانبها وقطع هذا الشكل الهندسي على طول هذه الخطوط المستقيمة. من الممكن أيضًا تقسيم أي مضلع إلى عدة أجزاء محدبة بحيث تتوافق رؤوس كل قطعة مع جميع رؤوسها. من هذا الشكل الهندسي ، يمكن صنع المثلثات ببساطة شديدة عن طريق رسم الكلقطري من رأس واحد. وبالتالي ، يمكن تقسيم أي مضلع في النهاية إلى عدد معين من المثلثات ، والتي تبين أنها مفيدة جدًا في حل المشكلات المختلفة المرتبطة بهذه الأشكال الهندسية.
محيط مضلع محدب
أجزاء الخط المتقطع ، التي تسمى جوانب المضلع ، يتم الإشارة إليها غالبًا بالأحرف التالية: ab ، bc ، cd ، de ، ea. هذه هي جوانب شكل هندسي ذات رءوس أ ، ب ، ج ، د ، هـ. يسمى مجموع أطوال جميع جوانب هذا المضلع المحدب محيطه.
محيط المضلع
يمكن كتابة وحصر المضلعات المحدبة. تسمى الدائرة التي تمس جميع جوانب هذا الشكل الهندسي منقوشة فيها. يسمى هذا المضلع مقيد. مركز الدائرة المدرجة في مضلع هو نقطة تقاطع منصف جميع الزوايا داخل شكل هندسي معين. مساحة هذا المضلع هي:
S=pr ،
حيث r هو نصف قطر الدائرة المنقوشة و p هو مقياس نصف قطر المضلع المحدد.
تسمى الدائرة التي تحتوي على رؤوس المضلع حولها. علاوة على ذلك ، يسمى هذا الشكل الهندسي المحدب منقوشًا. مركز الدائرة ، المحصورة بمثل هذا المضلع ، هو نقطة التقاطع لما يسمى بالمنصفات العمودية من جميع الجوانب.
أقطار من الأشكال الهندسية المحدبة
الأقطار في المضلع المحدب هي مقاطعربط الرؤوس غير المجاورة. كل واحد منهم يقع داخل هذا الشكل الهندسي. يتم تحديد عدد الأقطار لمثل هذا n-gon بواسطة الصيغة:
N=n (ن - 3) / 2.
يلعب عدد الأقطار في المضلع المحدب دورًا مهمًا في الهندسة الأولية. يتم حساب عدد المثلثات (K) التي يمكن تقسيم كل مضلع محدب إليها بالصيغة التالية:
K=n - 2.
عدد الأقطار للمضلع المحدب يعتمد دائمًا على عدد رؤوسه.
تحلل مضلع محدب
في بعض الحالات ، لحل المشكلات الهندسية ، من الضروري تقسيم مضلع محدب إلى عدة مثلثات ذات أقطار غير متقاطعة. يمكن حل هذه المشكلة عن طريق اشتقاق صيغة محددة.
تعريف المشكلة: دعنا نسمي قسمًا مناسبًا من محدب n-gon إلى عدة مثلثات بأقطار لا تتقاطع إلا عند رؤوس هذا الشكل الهندسي.
الحل: افترض أن Р1 ، Р2 ، Р3 … ، Pn هي رؤوس هذا n-gon. الرقم Xn هو رقم أقسامه. دعونا نفكر بعناية في القطر الذي تم الحصول عليه للشكل الهندسي Pi Pn. في أي من الأقسام العادية ، ينتمي P1 Pn إلى مثلث معين P1 Pi Pn ، الذي يحتوي على 1<i<n. انطلاقًا من هذا وبافتراض أن i=2 ، 3 ، 4 … ، n-1 ، نحصل على (n-2) مجموعات من هذه الأقسام ، والتي تشمل جميع الحالات الخاصة المحتملة.
دع i=2 تكون مجموعة واحدة من الأقسام العادية ، تحتوي دائمًا على القطر Р2 Pn. عدد الأقسام التي تدخله هو نفسه عدد الأقسام(n-1) -gon P2 P3 P4 … Pn. بمعنى آخر ، إنها تساوي Xn-1.
إذا كنت=3 ، فستحتوي هذه المجموعة الأخرى من الأقسام دائمًا على الأقطار Р3 Р1 و Р3 Pn. في هذه الحالة ، سيتطابق عدد الأقسام العادية التي تحتوي عليها هذه المجموعة مع عدد أقسام (n-2) -gon P3 P4 … Pn. بمعنى آخر ، سيساوي Xn-2.
دع i=4 ، ثم من بين المثلثات ، سيحتوي القسم العادي بالتأكيد على مثلث P1 P4 Pn ، والذي سيلتصق به رباعي الزوايا P1 P2 P3 P4 ، (n-3) -gon P4 P5 …. عدد الأقسام العادية لمثل هذا الشكل الرباعي هو X4 ، وعدد الأقسام في (n-3) -gon هو Xn-3. بناءً على ما سبق ، يمكننا القول أن العدد الإجمالي للأقسام الصحيحة الموجودة في هذه المجموعة هو Xn-3 X4. المجموعات الأخرى التي تحتوي على i=4، 5، 6، 7 … ستحتوي على Xn-4 X5، Xn-5 X6، Xn-6 X7 … أقسام عادية.
دع i=n-2 ، فإن عدد الانقسامات الصحيحة في هذه المجموعة سيكون هو نفسه عدد الانقسامات في المجموعة حيث i=2 (بمعنى آخر ، يساوي Xn-1).
بما أن X1=X2=0 ، X3=1 ، X4=2… ، فإن عدد جميع أقسام المضلع المحدب هو:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 +… + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
مثال:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
عدد الأقسام الصحيحة التي تتقاطع مع قطري واحد من الداخل
عند التحقق من الحالات الخاصة ، يمكن الوصول إليهاافتراض أن عدد الأقطار المحدبة n-gons يساوي منتج جميع أقسام هذا الشكل بواسطة (n-3).
دليل على هذا الافتراض: تخيل أن P1n=Xn(n-3) ، ثم يمكن تقسيم أي n-gon إلى (n-2) -مثلثات. علاوة على ذلك ، يمكن أن يتكون منها رباعي (ن -3). إلى جانب ذلك ، سيكون لكل رباعي قطر مائل. نظرًا لأنه يمكن رسم قطرين في هذا الشكل الهندسي المحدب ، فهذا يعني أنه يمكن رسم أقطار إضافية (n-3) في أي (n-3) - رباعي الأضلاع. بناءً على ذلك ، يمكننا أن نستنتج أنه في أي قسم عادي من الممكن رسم (n-3) - أقطار تستوفي شروط هذه المشكلة.
مساحة المضلعات المحدبة
في كثير من الأحيان ، عند حل العديد من مشاكل الهندسة الأولية ، يصبح من الضروري تحديد مساحة المضلع المحدب. افترض أن (Xi. Yi) ، i=1 ، 2 ، 3 … n هو تسلسل إحداثيات جميع الرؤوس المجاورة لمضلع لا يحتوي على تقاطعات ذاتية. في هذه الحالة ، يتم حساب مساحتها باستخدام الصيغة التالية:
S=½ (∑ (Xi+ Xi + 1) (Yi+ Yi + 1)) ،
حيث (X1 ، Y1)=(Xn + 1 ، Yn + 1).
