عدم المساواة وأنظمة عدم المساواة هي واحدة من الموضوعات التي يتم تدريسها في الجبر في المدرسة الثانوية. من حيث الصعوبة ، فهي ليست الأصعب ، لأنها تحتوي على قواعد بسيطة (حولها بعد قليل). كقاعدة عامة ، يتعلم أطفال المدارس حل أنظمة عدم المساواة بسهولة تامة. ويرجع هذا أيضًا إلى حقيقة أن المعلمين ببساطة "يدربون" طلابهم على هذا الموضوع. ولا يسعهم إلا أن يفعلوا ذلك ، لأنه يتم دراسته في المستقبل باستخدام كميات رياضية أخرى ، ويتم فحصه أيضًا من أجل OGE وامتحان الدولة الموحد. في الكتب المدرسية ، يتم تناول موضوع عدم المساواة وأنظمة عدم المساواة بتفصيل كبير ، لذلك إذا كنت ستدرسه ، فمن الأفضل اللجوء إليها. هذه المقالة ليست سوى إعادة صياغة للكثير من المواد وقد تحتوي على بعض الإغفالات.
مفهوم نظام عدم المساواة
إذا لجأنا إلى اللغة العلمية ، يمكننا تحديد مفهوم "النظامعدم المساواة ". هذا نموذج رياضي يمثل العديد من عدم المساواة. بالطبع ، يتطلب هذا النموذج حلاً ، وسيكون الحل العام لجميع عدم المساواة في النظام المقترح في المهمة (عادةً ما يتم كتابته على هذا النحو ، من أجل مثال: "حل نظام المتباينات 4 x + 1 > 2 و 30 - x > 6…").
أنظمة المتباينات وأنظمة المعادلات
في عملية تعلم موضوع جديد ، غالبًا ما ينشأ سوء تفاهم. من ناحية ، كل شيء واضح وأنا أفضل أن أبدأ في حل المهام ، ولكن من ناحية أخرى ، تبقى بعض اللحظات في "الظل" ، وهي غير مفهومة جيدًا. أيضًا ، يمكن أن تتشابك بعض عناصر المعرفة المكتسبة بالفعل مع عناصر جديدة. غالبًا ما تحدث الأخطاء نتيجة لهذا التداخل.
لذلك ، قبل الشروع في تحليل موضوعنا ، يجب أن نتذكر الاختلافات بين المعادلات وعدم المساواة وأنظمتها. للقيام بذلك ، من الضروري توضيح ما هي هذه المفاهيم الرياضية مرة أخرى. المعادلة هي دائمًا مساواة ، وهي دائمًا مساوية لشيء ما (في الرياضيات ، يتم الإشارة إلى هذه الكلمة بعلامة "="). عدم المساواة هو نموذج تكون فيه إحدى القيم إما أكبر أو أقل من أخرى ، أو تحتوي على التأكيد على أنها ليست متطابقة. وبالتالي ، في الحالة الأولى ، من المناسب التحدث عن المساواة ، وفي الحالة الثانية ، بغض النظر عن مدى وضوح ذلك منالاسم نفسه ، حول عدم المساواة في البيانات الأولية. لا تختلف أنظمة المعادلات وعدم المساواة عمليا عن بعضها البعض وطرق حلها هي نفسها. الاختلاف الوحيد هو أن الأول يستخدم المساواة بينما يستخدم الأخير عدم المساواة.
أنواع عدم المساواة
هناك نوعان من المتباينات: عددية ومتغير غير معروف. النوع الأول هو القيم (الأرقام) التي لا تساوي بعضها البعض ، على سبيل المثال ، 8 > 10. النوع الثاني هو المتباينات التي تحتوي على متغير غير معروف (يشار إليه ببعض الحروف الأبجدية اللاتينية ، وغالبًا ما يكون X). يجب العثور على هذا المتغير. اعتمادًا على عدد المتباينات الموجودة ، يميز النموذج الرياضي بين المتباينات بمتغير واحد (تشكل نظامًا من عدم المساواة بمتغير واحد) أو عدة متغيرات (تشكل نظامًا من عدم المساواة مع عدة متغيرات).
النوعان الأخيران ، وفقًا لدرجة بنائهما ومستوى تعقيد الحل ، ينقسمان إلى بسيط ومعقد. تسمى المتباينات البسيطة أيضًا عدم المساواة الخطية. وهي بدورها مقسمة إلى صارمة وغير صارمة. "قل" بشكل صارم على وجه التحديد أن قيمة واحدة يجب أن تكون إما أقل أو أكثر ، لذا فهذه مجرد عدم مساواة. هناك عدة أمثلة: 8 × + 9 > 2 ، 100 - 3 × > 5 ، إلخ. تشتمل الأمثلة غير الصارمة أيضًا على المساواة. بمعنى ، يمكن أن تكون إحدى القيم أكبر من أو تساوي قيمة أخرى (العلامة "≧") أو أقل من أو تساوي قيمة أخرى (علامة "≦"). لا يزال في الطابورفي المتباينات ، المتغير لا يقف عند الجذر ، فالمربع لا يقبل القسمة على أي شيء ، وهذا هو سبب تسميتها "بسيطة". تتضمن المتغيرات المعقدة متغيرات غير معروفة ، يتطلب اكتشافها المزيد من العمليات الحسابية. غالبًا ما تكون في مربع أو مكعب أو تحت الجذر ، ويمكن أن تكون معيارية ، ولوغاريتمية ، وجزئية ، وما إلى ذلك. ولكن نظرًا لأن مهمتنا هي فهم حل أنظمة عدم المساواة ، فسوف نتحدث عن نظام من المتباينات الخطية. ومع ذلك ، قبل ذلك ، ينبغي أن يقال بضع كلمات عن خصائصها.
خصائص عدم المساواة
خصائص عدم المساواة تشمل الأحكام التالية:
- يتم عكس علامة عدم المساواة إذا تم تطبيق عملية تغيير تسلسل الأضلاع (على سبيل المثال ، إذا كان t1≦ t2 ، ثم t2≧ t1 ).
- كلا الجزأين من عدم المساواة يسمحان لك بإضافة نفس الرقم لنفسك (على سبيل المثال ، إذا كان t1≦ t2، ثم t1+ رقم ≦ t2+ رقم).
- اثنين أو أكثر من عدم المساواة مع إشارة من نفس الاتجاه تسمح لك بإضافة الجزأين الأيمن والأيسر (على سبيل المثال ، إذا كان t1≧ t2، t3≧ t4، ثم t1+ t 3≧ t2+ t4 ).
- كلا الجزأين من المتباينة يسمحان بضربهما أو قسمة نفس الرقم الموجب (على سبيل المثال ، إذا كان t1≦ t2 ورقم ≦ 0 ، ثم رقم t1≧ رقم t2 ).
- تسمح اثنتان أو أكثر من المتباينات التي لها حدود موجبة وإشارة من نفس الاتجاهاضرب بعضنا البعض (على سبيل المثال ، إذا كان t1≦ t2، t3≦ t 4 ، t1 ، t2 ، t3 ، t4≧ 0 ثم t1t3≦ t2 t4).
- يسمح كلا الجزأين من المتباينة بأن يتم ضربهما أو قسمة نفس الرقم السالب ، لكن علامة عدم المساواة تتغير (على سبيل المثال ، إذا كان t1≦ t2ورقم ≦ 0 ، ثم الرقم t1≧ رقم t2 ).
- جميع المتباينات متعدية (على سبيل المثال ، إذا كان t1≦ t2و t2 ≦ t3، ثم t1≦ t3 ).
الآن ، بعد دراسة الأحكام الرئيسية للنظرية المتعلقة بعدم المساواة ، يمكننا المضي قدمًا مباشرة في دراسة القواعد الخاصة بحل أنظمتهم.
حل أنظمة عدم المساواة. معلومات عامة. الحلول
كما ذكرنا أعلاه ، الحل هو قيم المتغير التي تناسب جميع المتباينات في النظام المحدد. حل أنظمة عدم المساواة هو تنفيذ العمليات الحسابية التي تؤدي في النهاية إلى حل النظام بأكمله أو إثبات عدم وجود حلول له. في هذه الحالة ، يُقال أن المتغير يشير إلى مجموعة الأرقام الفارغة (مكتوبة على النحو التالي: الحرف الذي يشير إلى المتغير ∈ (العلامة "تنتمي") ø (العلامة "مجموعة فارغة") ، على سبيل المثال ، x ∈ ø (تقرأ على النحو التالي: "المتغير" x "ينتمي إلى المجموعة الفارغة"). توجد عدة طرق لحل أنظمة المتباينات:طريقة الاستبدال الرسومية والجبرية. من الجدير بالذكر أنهم يشيرون إلى تلك النماذج الرياضية التي تحتوي على العديد من المتغيرات غير المعروفة. في حالة وجود واحد فقط ، ستعمل طريقة التباعد.
طريقة الرسم
يسمح لك بحل نظام من عدم المساواة مع عدة مجاهيل (من اثنين أو أكثر). بفضل هذه الطريقة ، يتم حل نظام المتباينات الخطية بسهولة وبسرعة ، لذا فهي الطريقة الأكثر شيوعًا. وذلك لأن التخطيط يقلل من مقدار كتابة العمليات الرياضية. يصبح من اللطيف بشكل خاص أن تأخذ استراحة صغيرة من القلم ، وتلتقط قلم رصاص بمسطرة والمضي قدمًا في إجراءات أخرى بمساعدتهم عندما يتم إنجاز الكثير من العمل وتريد القليل من التنوع. ومع ذلك ، لا يحب البعض هذه الطريقة نظرًا لحقيقة أنه يجب عليك الابتعاد عن المهمة وتحويل نشاطك العقلي إلى الرسم. ومع ذلك ، فهي طريقة فعالة للغاية.
لحل نظام من المتباينات باستخدام طريقة بيانية ، من الضروري نقل جميع أعضاء كل متباينة إلى جانبهم الأيسر. ستنعكس الإشارات ، يجب كتابة الصفر على اليمين ، ثم يجب كتابة كل متباينة على حدة. نتيجة لذلك ، سيتم الحصول على الوظائف من عدم المساواة. بعد ذلك ، يمكنك الحصول على قلم رصاص ومسطرة: الآن تحتاج إلى رسم رسم بياني لكل وظيفة تم الحصول عليها. ستكون مجموعة الأعداد الكاملة التي ستكون في فترة تقاطعها هي الحل لنظام المتباينات.
الطريقة الجبرية
يسمح لك بحل نظام من المتباينات بمتغيرين غير معروفين. يجب أن يكون لعدم المساواة أيضًا علامة عدم المساواة نفسها (أي ، يجب أن تحتوي إما فقط على علامة "أكبر من" ، أو فقط علامة "أقل من" ، إلخ.) على الرغم من قيودها ، فإن هذه الطريقة أكثر تعقيدًا أيضًا. يتم تطبيقه على خطوتين
الأول يتضمن التخلص من أحد المتغيرات غير المعروفة. تحتاج أولاً إلى تحديده ، ثم التحقق من وجود الأرقام أمام هذا المتغير. إذا لم يكن هناك أي شيء (سيبدو المتغير مثل حرف واحد) ، فلن نغير أي شيء ، إذا كان هناك (نوع المتغير سيكون ، على سبيل المثال ، 5y أو 12y) ، فمن الضروري التأكد أنه في كل متباينة يكون الرقم الموجود أمام المتغير المحدد هو نفسه. للقيام بذلك ، تحتاج إلى ضرب كل عنصر من المتباينات في عامل مشترك ، على سبيل المثال ، إذا تم كتابة 3y في المتباينة الأولى ، و 5y في المتباينة الثانية ، فأنت بحاجة إلى ضرب جميع أعضاء المتباينة الأولى في 5 ، والثانية بمقدار 3. تحصل على 15y و 15y على التوالي.
المرحلة الثانية من القرار. من الضروري نقل الطرف الأيسر من كل متباينة إلى جانبيها الأيمن مع تغيير إشارة كل حد إلى الجهة المقابلة ، اكتب صفرًا على اليمين. ثم يأتي الجزء الممتع: التخلص من المتغير المختار (المعروف أيضًا باسم "الاختزال") مع جمع المتباينات. سوف تحصل على متباينة مع متغير واحد يجب حله. بعد ذلك ، يجب أن تفعل الشيء نفسه ، فقط مع متغير آخر غير معروف. ستكون النتائج التي تم الحصول عليها هي الحل للنظام
طريقة الاستبدال
يسمح لك بحل نظام من عدم المساواة عندما تتاح لك الفرصة لإدخال متغير جديد. عادةً ما يتم استخدام هذه الطريقة عندما يتم رفع المتغير المجهول في أحد حدود المتباينة إلى الأس الرابع ، وفي المصطلح الآخر يتم تربيعه. وبالتالي ، تهدف هذه الطريقة إلى تقليل درجة عدم المساواة في النظام. تم حل متباينة العينة x4- x2- 1 ≦ 0 بهذه الطريقة على النحو التالي. تم إدخال متغير جديد ، على سبيل المثال t. يكتبون: "دع t=x2 " ، ثم تتم إعادة كتابة النموذج في شكل جديد. في حالتنا ، نحصل على t2- t - 1 ≦ 0. يجب حل هذه المتباينة بطريقة الفترة (حولها بعد قليل) ، ثم العودة مرة أخرى إلى المتغير X ، ثم افعل الشيء نفسه مع متباينة أخرى. الاجابات الواردة ستكون بقرار من النظام
طريقة الفاصل الزمني
هذه هي أسهل طريقة لحل أنظمة عدم المساواة ، وفي نفس الوقت فهي عالمية وواسعة الانتشار. يتم استخدامه في المدرسة الثانوية ، وحتى في المدرسة الثانوية. يكمن جوهرها في حقيقة أن الطالب يبحث عن فترات من عدم المساواة على خط الأعداد ، والتي يتم رسمها في دفتر ملاحظات (هذا ليس رسمًا بيانيًا ، ولكنه مجرد خط مستقيم عادي به أرقام). عندما تتقاطع فترات عدم المساواة ، يتم إيجاد حل النظام. لاستخدام طريقة التباعد ، اتبع الخطوات التالية:
- يتم نقل جميع أعضاء كل متباينة إلى الطرف الأيسر مع تغيير الإشارة إلى العكس (صفر مكتوب على اليمين).
- المتباينات مكتوبة بشكل منفصل ، يتم تحديد حل كل منها.
- تقاطعات المتباينات على العدديمباشرة. كل الأرقام في هذه التقاطعات ستكون الحل.
أي طريقة لاستخدام؟
من الواضح أن الطريقة التي تبدو أسهل وأكثر ملاءمة ، ولكن هناك أوقات تتطلب فيها المهام طريقة معينة. في أغلب الأحيان ، يقولون إنك تحتاج إلى حل إما باستخدام رسم بياني أو باستخدام طريقة الفاصل الزمني. نادرًا ما يتم استخدام الطريقة الجبرية والاستبدال أو لا تستخدم على الإطلاق ، نظرًا لأنها معقدة ومربكة للغاية ، بالإضافة إلى أنها تستخدم أكثر في حل أنظمة المعادلات بدلاً من عدم المساواة ، لذلك يجب اللجوء إلى رسم الرسوم البيانية والفواصل الزمنية. إنها تجلب الرؤية ، والتي لا يمكن إلا أن تساهم في إجراء العمليات الحسابية بكفاءة وسرعة.
إذا كان هناك شيء لا يعمل
أثناء دراسة موضوع معين في الجبر ، بالطبع ، قد تكون هناك مشاكل في فهمه. وهذا أمر طبيعي ، لأن دماغنا مصمم بطريقة تجعله غير قادر على فهم المواد المعقدة دفعة واحدة. غالبًا ما تحتاج إلى إعادة قراءة فقرة أو الاستعانة بمعلم أو التدرب على حل المشكلات النموذجية. في حالتنا ، ينظرون ، على سبيل المثال ، على النحو التالي: "حل نظام المتباينات 3 x + 1 ≧ 0 و 2 x - 1 > 3". وبالتالي ، فإن السعي الشخصي والمساعدة من الخارج والممارسة تساعد في فهم أي موضوع معقد.
Reshebnik؟
وكتاب الحل أيضًا جيد جدًا ، ولكن ليس للغش في الواجبات المنزلية ، ولكن للمساعدة الذاتية. في نفوسهم يمكنك أن تجد أنظمة من عدم المساواة مع حل ، انظر إليها(مثل القوالب) ، حاول أن تفهم بالضبط كيف تعامل مؤلف الحل مع المهمة ، ثم حاول القيام بذلك بمفرده.
الاستنتاجات
الجبر من أصعب المواد في المدرسة. حسنا، ماذا يمكنك أن تفعل؟ لطالما كانت الرياضيات على هذا النحو: بالنسبة للبعض تأتي بسهولة ، وبالنسبة للآخرين فهي صعبة. ولكن على أي حال ، يجب أن نتذكر أن برنامج التعليم العام مصمم بطريقة يمكن لأي طالب التعامل معها. بالإضافة إلى ذلك ، عليك أن تضع في اعتبارك عددًا كبيرًا من المساعدين. تم ذكر بعضها أعلاه.
