ناقل الاتجاه المباشر: التعريف والأمثلة

2024 مؤلف: Angel Austin | [email protected]. آخر تعديل: 2024-01-02 17:40

كائن هندسي مهم تمت دراسته في الفضاء المسطح هو الخط المستقيم. في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، بالإضافة إلى الخط المستقيم ، هناك أيضًا مستوى. يتم تعريف كلا الجسمين بشكل ملائم باستخدام متجهات الاتجاه. ما هو ، كيف تستخدم هذه المتجهات لتحديد معادلات الخط المستقيم والمستوى؟ تمت تغطية هذه الأسئلة وغيرها في المقالة.

الخط المباشر وكيفية تحديده

لدى كل طالب فكرة جيدة عن الكائن الهندسي الذي يتحدثون عنه. من وجهة نظر الرياضيات ، الخط المستقيم عبارة عن مجموعة من النقاط ، والتي ، في حالة الاتصال الزوجي التعسفي ، تؤدي إلى مجموعة من المتجهات المتوازية. يستخدم هذا التعريف للخط لكتابة معادلة له في بعدين وثلاثة أبعاد.

لوصف الكائن أحادي البعد المدروس ، يتم استخدام أنواع مختلفة من المعادلات ، والتي تم سردها في القائمة أدناه:

نظرة عامة ؛
حدودي ؛
ناقل ؛
متعارف عليه أو متماثل ؛
في قطاعات.

لكل من هذه الأنواع بعض المزايا عن الأنواع الأخرى. على سبيل المثال ، المعادلة في المقاطع ملائمة للاستخدام عند دراسة سلوك خط مستقيم بالنسبة لمحاور الإحداثيات ، والمعادلة العامة مناسبة عند إيجاد اتجاه عمودي لخط مستقيم معين ، وكذلك عند حساب زاوية تقاطع مع المحور السيني (لحالة مسطحة)

نظرًا لأن موضوع هذه المقالة مرتبط بالمتجه التوجيهي لخط مستقيم ، فسننظر فقط في المعادلة التي يكون فيها هذا المتجه أساسيًا ويتم احتوائه بشكل صريح ، أي تعبير متجه.

تحديد خط مستقيم من خلال متجه

افترض أن لدينا متجه v¯ بإحداثيات معروفة (أ ؛ ب ؛ ج). نظرًا لوجود ثلاثة إحداثيات ، يتم إعطاء المتجه في الفراغ. كيف تصورها في نظام إحداثيات مستطيل؟ يتم ذلك بكل بساطة: على كل محور من المحاور الثلاثة ، يتم رسم مقطع طوله يساوي الإحداثي المقابل للمتجه. ستكون نقطة تقاطع الخطوط العمودية الثلاثة المستعادة لمستويات xy و yz و xz هي نهاية المتجه. بدايتها هي النقطة (0 ؛ 0 ؛ 0).

ومع ذلك ، فإن الموضع المحدد للمتجه ليس هو الوحيد. وبالمثل ، يمكن للمرء أن يرسم v عن طريق وضع أصله في نقطة عشوائية في الفضاء. تقول هذه الحجج أنه من المستحيل تعيين خط معين باستخدام متجه. يحدد عائلة من عدد لا حصر له من الخطوط المتوازية.

الآنإصلاح بعض النقاط P (x₀؛ y₀؛ z_{0) من الفضاء. وقمنا بتعيين الشرط: يجب أن يمر خط مستقيم عبر P. في هذه الحالة ، يجب أن يحتوي المتجه v¯ أيضًا على هذه النقطة. الحقيقة الأخيرة تعني أنه يمكن تعريف سطر واحد باستخدام P و v¯. ستتم كتابتها بالمعادلة التالية:}

Q=P + λ × v¯

هنا Q هي أي نقطة تنتمي إلى الخط. يمكن الحصول على هذه النقطة عن طريق اختيار المعلمة المناسبة λ. تسمى المعادلة المكتوبة بمعادلة المتجه ، وتسمى v¯ متجه الاتجاه للخط المستقيم. من خلال ترتيبها بحيث تمر عبر P وتغيير طولها باستخدام المعلمة λ ، نحصل على كل نقطة من Q كخط مستقيم.

في شكل تنسيق ، ستتم كتابة المعادلة على النحو التالي:

(x ؛ y ؛ z)=(x₀؛ y₀؛ z_{0) + λ × (أ ؛ ب ؛ ج)}

وبشكل صريح (حدودي) يمكنك كتابة:

x=x_{0+ λ × a ؛}

y=y_{0+ λ × b ؛}

z=z_{0+ λ × c}

إذا استبعدنا الإحداثي الثالث في التعبيرات أعلاه ، فسنحصل على معادلات المتجه للخط المستقيم على المستوى.

لأي مهام من المفيد معرفة متجه الاتجاه؟

كقاعدة عامة ، هذه مهام لتحديد التوازي والعمودي للخطوط. أيضًا ، يتم استخدام المتجه المباشر الذي يحدد الاتجاه عند حساب المسافة بين الخطوط المستقيمة والنقطة والخط المستقيم ، لوصف سلوك الخط المستقيم بالنسبة للمستوى.

اثنانستكون الخطوط متوازية إذا كانت متجهات اتجاهها. وفقًا لذلك ، تم إثبات عمودية الخطوط باستخدام عمودية نواقلها. في هذه الأنواع من المشاكل ، يكفي حساب المنتج القياسي للمتجهات المدروسة للحصول على الإجابة.

في حالة المهام الخاصة بحساب المسافات بين الخطوط والنقاط ، يتم تضمين متجه الاتجاه بشكل صريح في الصيغة المقابلة. دعنا نكتبها:

د=| [P₁P_{2¯ × v¯] | / | v¯ |}

هنا P₁P₂¯ - مبني على النقاط P₁و P₂مقطع موجه. النقطة P₂تعسفية ، وتقع على الخط مع المتجه v¯ ، بينما النقطة P_{1هي النقطة التي يجب أن تكون المسافة عليها كن مصمما. يمكن أن تكون إما مستقلة أو تنتمي إلى خط أو مستوى آخر.}

لاحظ أنه من المنطقي حساب المسافة بين الخطوط فقط عندما تكون متوازية أو متقاطعة. إذا تقاطعا ، فإن d تساوي صفرًا.

الصيغة أعلاه لـ d صالحة أيضًا لحساب المسافة بين المستوى والخط المستقيم الموازي لها ، فقط في هذه الحالة يجب أن تنتمي P_{1إلى المستوى.}

دعونا نحل العديد من المشاكل لنوضح بشكل أفضل كيفية استخدام المتجه المدروس.

مشكلة معادلة المتجه

من المعروف أن الخط المستقيم يوصف بالمعادلة التالية:

ص=3 × س - 4

يجب أن تكتب التعبير المناسب بلغةشكل متجه.

هذه معادلة نموذجية للخط المستقيم ، معروفة لكل تلميذ ، مكتوبة بشكل عام. دعونا نوضح كيفية إعادة كتابته في شكل متجه.

يمكن تمثيل التعبير على النحو التالي:

(س ؛ ص)=(س ؛ 3 × س - 4)

يمكن ملاحظة أنه إذا فتحته ، ستحصل على المساواة الأصلية. الآن نقسم جانبه الأيمن إلى متجهين بحيث يحتوي واحد منهما فقط على x ، لدينا:

(س ؛ ص)=(س ؛ 3 × س) + (0 ؛ -4)

يبقى إخراج x من الأقواس ، وتعيينه برمز يوناني ومبادلة متجهات الجانب الأيمن:

(س ؛ ص)=(0 ؛ -4) + λ × (1 ؛ 3)

حصلنا على الشكل المتجه للتعبير الأصلي. إحداثيات متجه الاتجاه للخط المستقيم هي (1 ؛ 3).

مهمة تحديد الموضع النسبي للخطوط

يوجد سطرين في الفراغ:

(س ؛ ص ؛ ض)=(1 ؛ 0 ؛ -2) + × (-1 ؛ 3 ؛ 1) ؛

(س ؛ ص ؛ ض)=(3 ؛ 2 ؛ 2) + γ × (1 ؛ 2 ؛ 0)

هل هي متوازية أم متقاطعة أم متقاطعة؟

المتجهات غير الصفرية (-1 ؛ 3 ؛ 1) و (1 ؛ 2 ؛ 0) ستكون أدلة لهذه الخطوط. دعونا نعبر عن هذه المعادلات بصيغة بارامترية ونعوض بإحداثيات الأول في الثاني. نحصل على:

س=1 - λ ؛

ص=3 × λ ؛

ض=-2 + λ ؛

س=3 + γ=1 -=>γ=-2 - λ ؛

y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3/2 × λ - 1 ؛

ض=2=-2 + λ=> λ=4

استبدل المعلمة الموجودة λ في المعادلتين أعلاه ، نحصل على:

γ=-2 - λ=-6 ؛

γ=3/2 × λ - 1=5

المعلمة γ لا يمكن أن تأخذ قيمتين مختلفتين في نفس الوقت. هذا يعني أن الخطوط ليس لها نقطة مشتركة واحدة ، أي أنها متقاطعة. إنها ليست متوازية ، لأن المتجهات غير الصفرية ليست موازية لبعضها البعض (للتوازي ، يجب أن يكون هناك رقم ، بضربه في متجه واحد ، من شأنه أن يؤدي إلى إحداثيات الثاني).

وصف رياضي للطائرة

لضبط مستوى في الفضاء ، نعطي معادلة عامة:

أ × س + ب × ص + ج × ع + د=0

هنا تمثل الأحرف الكبيرة اللاتينية أرقامًا محددة. تحدد الثلاثة الأولى منهم إحداثيات المتجه الطبيعي للمستوى. إذا تم الإشارة إليه بواسطة n¯ ، فعندئذٍ:

n¯=(أ ؛ ب ؛ ج)

هذا المتجه عمودي على المستوى ، لذلك يسمى الدليل. معرفتها ، وكذلك الإحداثيات المعروفة لأي نقطة تنتمي إلى الطائرة ، تحدد بشكل فريد الأخير.

إذا كانت النقطة P (x₁؛ y₁؛ z_{1) تنتمي إلى الطائرة ، ثم يتم حساب التقاطع D على النحو التالي:}

D=-1 × (أ × س₁+ B × y₁+ C × z₁₎

لنحل مشكلتين باستخدام المعادلة العامة للمستوى

مهمة لإيجاد المتجه الطبيعي للطائرة

يتم تعريف الطائرة على النحو التالي:

(ص - 3) / 2 + (س + 1) / 3 - ض / 4=1

كيف تجد متجه الاتجاه لها؟

من النظرية أعلاه ، يترتب على ذلك أن إحداثيات المتجه الطبيعي n¯ هي المعاملات أمام المتغيرات. في هذا الصدد ، لإيجاد ن ، يجب كتابة المعادلة بشكل عام. لدينا:

1/3 × س + 1/2 × ص - 1/4 × ع - 13/6=0

ثم المتجه العادي للطائرة هو:

n¯=(1/3 ؛ 1/2 ؛ -1/4)

مشكلة رسم معادلة المستوى

إحداثيات النقاط الثلاث معطاة:

M_{1(1 ؛ 0 ؛ 0) ؛}

M_{2(2 ؛ -1 ؛ 5) ؛}

M_{3(0 ؛ -2 ؛ -2)}

كيف ستبدو معادلة المستوى الذي يحتوي على كل هذه النقاط.

من خلال ثلاث نقاط لا تنتمي إلى نفس الخط ، يمكن رسم مستوى واحد فقط. لإيجاد معادلته ، نحسب أولاً متجه الاتجاه للمستوى n¯. للقيام بذلك ، ننتقل إلى ما يلي: نجد متجهين تعسفيين ينتميان إلى المستوى ، ونحسب منتج المتجه. سيعطي متجهًا عموديًا على هذا المستوى ، أي n¯. لدينا: