من المحتمل أن مفهوم المشتق مألوف لكل منا منذ المدرسة. عادة ما يجد الطلاب صعوبة في فهم هذا الشيء المهم للغاية بلا شك. يتم استخدامه بنشاط في مجالات مختلفة من حياة الناس ، وقد استندت العديد من التطورات الهندسية بدقة إلى الحسابات الرياضية التي تم الحصول عليها باستخدام المشتق. ولكن قبل الشروع في تحليل ماهية مشتقات الأرقام ، وكيفية حسابها ، وأين تكون مفيدة لنا ، دعنا نغرق في التاريخ.
التاريخ
تم اكتشاف مفهوم المشتق ، وهو أساس التحليل الرياضي (من الأفضل أن نقول "اخترع" ، لأنه لم يكن موجودًا في الطبيعة على هذا النحو) بواسطة إسحاق نيوتن ، الذي نعرفه جميعًا من اكتشاف قانون الجاذبية الكونية. كان هو أول من طبق هذا المفهوم في الفيزياء لربط طبيعة سرعة الأجسام وتسارعها. ولا يزال العديد من العلماء يثنون على نيوتن لهذا الاختراع الرائع ، لأنه في الواقع اخترع أساس التفاضل والتكامل ، في الواقع ، أساس منطقة كاملة من الرياضيات تسمى "حساب التفاضل والتكامل". إذا كانت جائزة نوبل في ذلك الوقت ، لكان نيوتن قد حصل عليها باحتمالية عالية عدة مرات.
لا يخلو من العقول العظيمة الأخرى. باستثناء نيوتنعمل عباقرة رياضيون بارزون مثل ليونارد أويلر ولويس لاجرانج وجوتفريد ليبنيز على تطوير المشتق والتكامل. وبفضلهم تلقينا نظرية حساب التفاضل بالشكل الذي توجد به حتى يومنا هذا. بالمناسبة ، كان لايبنيز هو من اكتشف المعنى الهندسي للمشتق ، والذي تبين أنه ليس أكثر من ظل منحدر الظل للرسم البياني للوظيفة.
ما هي مشتقات الأرقام؟ دعونا نكرر قليلا ما مررنا به في المدرسة.
ما هو المشتق؟
يمكن تعريف هذا المفهوم بعدة طرق مختلفة. أبسط تفسير هو أن المشتق هو معدل تغير الوظيفة. تخيل رسمًا بيانيًا لدالة y في المتغير x. إذا لم يكن مستقيمًا ، فإنه يحتوي على بعض المنحنيات في الرسم البياني ، وفترات الزيادة والنقصان. إذا أخذنا فاصلًا صغيرًا غير محدود من هذا الرسم البياني ، فسيكون جزءًا من خط مستقيم. لذا ، فإن نسبة حجم هذا الجزء الصغير جدًا على طول الإحداثي y إلى الحجم على طول الإحداثي x ستكون مشتقة هذه الدالة عند نقطة معينة. إذا أخذنا في الاعتبار الوظيفة ككل ، وليس في نقطة معينة ، فسنحصل على دالة مشتقة ، أي اعتماد معين لـ y على x.
علاوة على ذلك ، بالإضافة إلى المعنى المادي للمشتق كمعدل تغير دالة ، هناك أيضًا معنى هندسي. سنتحدث عنه الان
المعنى الهندسي
تمثل مشتقات الأرقام نفسها عددًا معينًا ، والذي ، بدون فهم مناسب ، لا يحمللا جدوى. اتضح أن المشتق لا يُظهر فقط معدل نمو أو نقصان الوظيفة ، ولكن أيضًا يُظهر ظل ميل المماس للرسم البياني للدالة عند نقطة معينة. ليس تعريف واضح جدا. دعنا نحللها بمزيد من التفصيل. لنفترض أن لدينا رسمًا بيانيًا للدالة (للفائدة ، لنأخذ منحنى). يحتوي على عدد لا حصر له من النقاط ، ولكن هناك مناطق بها نقطة واحدة فقط لها حد أقصى أو أدنى. من خلال أي نقطة من هذا القبيل ، من الممكن رسم خط يكون عموديًا على الرسم البياني للوظيفة في تلك النقطة. مثل هذا الخط سوف يسمى الظل. لنفترض أننا قضيناها في التقاطع مع محور OX. لذلك ، سيتم تحديد الزاوية التي تم الحصول عليها بين المماس ومحور OX بواسطة المشتق. بتعبير أدق ، سيكون ظل هذه الزاوية مساويًا لها.
لنتحدث قليلا عن الحالات الخاصة ونحلل مشتقات الأرقام
حالات خاصة
كما قلنا سابقًا ، مشتقات الأرقام هي قيم المشتق عند نقطة معينة. على سبيل المثال ، لنأخذ الدالة y=x2. المشتق x هو رقم وفي الحالة العامة دالة تساوي 2x. إذا احتجنا إلى حساب المشتق ، على سبيل المثال ، عند النقطة x0=1 ، فسنحصل على y '(1)=21=2. كل شيء بسيط للغاية. حالة مثيرة للاهتمام هي مشتق عدد مركب. لن ندخل في شرح مفصل لما هو العدد المركب. دعنا نقول فقط أن هذا رقم يحتوي على ما يسمى بالوحدة التخيلية - رقم مربعه -1. حساب مثل هذا المشتق ممكن فقط في حالة ما يليالشروط:
1) يجب أن تكون هناك مشتقات جزئية من الدرجة الأولى للأجزاء الحقيقية والخيالية بالنسبة إلى Y و X.
2) تم استيفاء شروط كوشي-ريمان المرتبطة بمساواة المشتقات الجزئية الموصوفة في الفقرة الأولى.
حالة أخرى مثيرة للاهتمام ، على الرغم من أنها ليست معقدة مثل الحالة السابقة ، وهي مشتق رقم سالب. في الواقع ، يمكن تمثيل أي رقم سالب كرقم موجب مضروب في -1. حسنًا ، مشتق الثابت والدالة يساوي الثابت مضروبًا في مشتق الدالة.
سيكون من المثير للاهتمام التعرف على دور المشتق في الحياة اليومية ، وهذا ما سنناقشه الآن.
التطبيق
من المحتمل أن كل واحد منا على الأقل مرة واحدة في حياته يدرك نفسه معتقدًا أن الرياضيات من غير المرجح أن تكون مفيدة له. والشيء المعقد مثل المشتق ، على الأرجح ، ليس له تطبيق على الإطلاق. في الواقع ، تعتبر الرياضيات علمًا أساسيًا ، ويتم تطوير كل ثمارها بشكل أساسي من خلال الفيزياء والكيمياء وعلم الفلك وحتى علم الاقتصاد. كان المشتق بداية التحليل الرياضي الذي أعطانا القدرة على استخلاص النتائج من الرسوم البيانية للوظائف ، وتعلمنا تفسير قوانين الطبيعة وتحويلها لمصلحتنا بفضلها.
الخلاصة
بالطبع ، قد لا يحتاج الجميع إلى مشتق في الحياة الحقيقية. لكن الرياضيات تطور المنطق ، وهو أمر ضروري بالتأكيد. ليس من قبيل الصدفة أن يطلق على الرياضيات ملكة العلوم: فهي تشكل الأساس لفهم مجالات المعرفة الأخرى.
