ما هذا - مخروط؟ التعريف والخصائص والصيغ ومثال لحل المشكلة

2024 مؤلف: Angel Austin | [email protected]. آخر تعديل: 2024-01-02 17:40

المخروط هو أحد الأشكال المكانية للدوران ، والتي تدرس خصائصها وخصائصها بواسطة القياس الفراغي. في هذه المقالة ، سوف نحدد هذا الشكل وننظر في الصيغ الأساسية التي تربط المعلمات الخطية للمخروط بمساحة سطحه وحجمه.

ما هو المخروط؟

من وجهة نظر الهندسة ، نحن نتحدث عن الشكل المكاني ، الذي يتكون من مجموعة من المقاطع المستقيمة التي تربط نقطة معينة في الفضاء بجميع نقاط منحنى مسطح سلس. يمكن أن يكون هذا المنحنى دائرة أو قطع ناقص. يوضح الشكل أدناه مخروطًا.

الشكل المعروض ليس له حجم ، لأن جدران سطحه لها سماكة متناهية الصغر. ومع ذلك ، إذا كانت مليئة بمادة ومحدودة من الأعلى ليس بمنحنى ، ولكن بشكل مسطح ، على سبيل المثال ، دائرة ، فسنحصل على جسم صلب صلب ، والذي يُطلق عليه أيضًا اسم مخروط.

يمكن العثور على شكل المخروط في كثير من الأحيان في الحياة. لذلك ، يحتوي على مخروط الآيس كريم أو مخاريط المرور المخططة باللونين الأسود والبرتقالي الموضوعة على الطريق لجذب انتباه المشاركين في حركة المرور.

عناصر المخروط وأنواعه

بما أن المخروط ليس متعدد السطوح ، فإن عدد العناصر المكونة له ليس كبيرًا مثل متعدد السطوح. في الهندسة ، يتكون المخروط العام من العناصر التالية:

• القاعدة ، ويسمى منحنى الإحاطة الدليل ، أو المولد ؛
• من السطح الجانبي ، وهو عبارة عن مجموعة من جميع نقاط مقاطع الخط المستقيم (المولدات) التي تربط الرأس ونقاط منحنى الدليل ؛
• قمة ، وهي نقطة تقاطع موديليها.

لاحظ أن الرأس يجب ألا يكمن في مستوى القاعدة ، لأن المخروط في هذه الحالة يتحول إلى شكل مسطح.

إذا رسمنا مقطعًا عموديًا من أعلى إلى القاعدة ، فسنحصل على ارتفاع الشكل. إذا تقاطعت القاعدة الأخيرة في المركز الهندسي ، فهذا مخروط مستقيم. إذا كان الخط العمودي لا يتطابق مع المركز الهندسي للقاعدة ، فسيكون الشكل مائلاً.

تظهر المخاريط المستقيمة والمائلة في الشكل. هنا ، يُشار إلى ارتفاع ونصف قطر قاعدة المخروط بالرمز h و r على التوالي. الخط الذي يربط أعلى الشكل والمركز الهندسي للقاعدة هو محور المخروط. يمكن أن نرى من الشكل أنه بالنسبة للشكل المستقيم ، يقع الارتفاع على هذا المحور ، وبالنسبة للشكل المائل ، فإن الارتفاع يشكل زاوية مع المحور. يشار إلى محور المخروط بالحرف أ

مخروط مستقيم بقاعدة دائرية

ربما يكون هذا المخروط هو الأكثر شيوعًا بين فئة الشخصيات المدروسة. يتكون من دائرة وجانبالأسطح. ليس من الصعب الحصول عليها بالطرق الهندسية. للقيام بذلك ، خذ مثلثًا قائمًا وقم بتدويره حول محور يتزامن مع إحدى الأرجل. من الواضح أن هذه الساق ستصبح ارتفاع الشكل ، ويشكل طول الضلع الثاني للمثلث نصف قطر قاعدة المخروط. يوضح الرسم البياني أدناه المخطط الموضح للحصول على رقم الدوران المعني.

يمكن تدوير المثلث المصور حول ساق أخرى ، مما ينتج عنه مخروط بنصف قطر قاعدة أكبر وارتفاع أقل من الأول.

لتحديد جميع معلمات المخروط المستدير بشكل لا لبس فيه ، يجب على المرء أن يعرف أي اثنين من خصائصه الخطية. من بينها ، يتم تمييز نصف القطر r أو الارتفاع h أو طول المولد g. كل هذه الكميات هي أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية ، وبالتالي فإن نظرية فيثاغورس صالحة لاتصالها:

g²=r²+ h^2.

مساحة السطح

عند دراسة سطح أي شكل ثلاثي الأبعاد ، من الملائم استخدام تطوره على مستوى. المخروط ليس استثناء. بالنسبة للمخروط الدائري ، يظهر التطوير أدناه.

نرى أن كشف الشكل يتكون من جزأين:

1. الدائرة التي تشكل قاعدة المخروط.
2. قطاع الدائرة ، وهو السطح المخروطي للشكل.

من السهل العثور على مساحة الدائرة ، والمعادلة المقابلة معروفة لكل طالب. بالحديث عن القطاع الدائري نلاحظ ذلكجزء من دائرة نصف قطرها g (طول شبكة المخروط). طول قوس هذا القطاع يساوي محيط القاعدة. هذه المعلمات تجعل من الممكن تحديد منطقتها بشكل لا لبس فيه. الصيغة المقابلة هي:

S=pir2+ pirg.

الحد الأول والثاني في التعبير هما مخروط القاعدة والسطح الجانبي للمساحة ، على التوالي.

إذا كان طول المولد g غير معروف ، لكن الارتفاع h من الشكل معطى ، فيمكن إعادة كتابة الصيغة على النحو التالي:

S=pir²+ pir√ (r²+ h^2).

حجم الشكل

إذا أخذنا هرمًا مستقيمًا وقمنا بزيادة عدد جوانب قاعدته إلى ما لا نهاية ، فإن شكل القاعدة سيميل إلى دائرة ، والسطح الجانبي للهرم سيقترب من السطح المخروطي. تسمح لنا هذه الاعتبارات باستخدام صيغة حجم الهرم عند حساب قيمة مماثلة لمخروط. يمكن إيجاد حجم المخروط باستخدام الصيغة:

V=1/3حS_o.

هذه الصيغة صحيحة دائمًا ، بغض النظر عن قاعدة المخروط ، مع وجود منطقة S_{o. علاوة على ذلك ، تنطبق الصيغة أيضًا على المخروط المائل.}

نظرًا لأننا ندرس خصائص الشكل المستقيم بقاعدة مستديرة ، يمكننا استخدام التعبير التالي لتحديد حجمه:

V=1/3hpir2.

الصيغة واضحة

مشكلة إيجاد مساحة السطح والحجم

دعونا نعطي مخروط نصف قطره 10 سم وطول المولد هو 20انظر الحاجة إلى تحديد الحجم ومساحة السطح لهذا الشكل.

لحساب المنطقة S ، يمكنك على الفور استخدام الصيغة المكتوبة أعلاه. لدينا:

S=pir²+ pirg=942 سم^2.

لتحديد الحجم ، تحتاج إلى معرفة ارتفاع h من الشكل. نحسبها باستخدام العلاقة بين المعلمات الخطية للمخروط. نحصل على:

h=√ (g²- r²)=√ (20²- 10^{2) ≈ 17 ، 32 سم}

الآن يمكنك استخدام صيغة V:

V=1/3hpir²=1/317 ، 323 ، 1410^{2 ≈ 1812، 83 سم}3^.

لاحظ أن حجم المخروط الدائري هو ثلث الأسطوانة المدرج فيها.