شكل تمثيل الأرقام الحقيقية (أو الحقيقية) ، حيث يتم تخزينها على هيئة الجزء العشري والأس ، هي أرقام فاصلة عائمة (ربما نقطة ، كما هو معتاد في البلدان الناطقة باللغة الإنجليزية). على الرغم من ذلك ، يتم توفير الرقم بدقة نسبية ثابتة ودقة مطلقة متغيرة. التمثيل الذي يتم استخدامه في أغلب الأحيان معتمد من قبل معيار IEEE 754. يتم تنفيذ العمليات الحسابية التي تستخدم أرقام الفاصلة العائمة في أنظمة الحوسبة - كل من الأجهزة والبرامج.
نقطة أو فاصلة
توضح القائمة التفصيلية للفاصل العشري البلدان الناطقة باللغة الإنجليزية والدول التي تتحدث اللغة الإنجليزية حيث يتم فصل الجزء الكسري عن الجزء الصحيح بنقطة في الأرقام ، وبالتالي فإن مصطلحات هذه البلدان تسمى النقطة العائمة. في الاتحاد الروسي ، يتم فصل الجزء الكسري تقليديًا عن الكل بفاصلة ، وبالتالي فإن المصطلح المعترف به تاريخيًا "أرقام الفاصلة العائمة" يشير إلى نفس المفهوم. ومع ذلك ، اليوم في التوثيق التقني والأدب باللغة الروسية ، كلاهماالخيار
يأتي مصطلح "أرقام الفاصلة العائمة" من حقيقة أن التمثيل الموضعي لرقم يمثل فاصلة (عشري عادي أو ثنائي - كمبيوتر) ، والتي يمكن أن تناسب أي مكان بين أرقام السلسلة. يجب مناقشة هذه الميزة بشكل منفصل. هذا يعني أن تمثيل أرقام الفاصلة العائمة يمكن اعتباره تطبيقًا حاسوبيًا للتدوين الأسي. ميزة استخدام هذا التمثيل على تمثيل تنسيق العدد الصحيح والنقطة الثابتة هو أن نطاق القيم ينمو بشكل كبير بينما تظل الدقة النسبية كما هي.
مثال
إذا تم إصلاح الفاصلة في الرقم ، فيمكن كتابتها بتنسيق واحد فقط. على سبيل المثال ، إعطاء ستة أرقام صحيحة في رقم ورقمين في جزء كسري. لا يمكن القيام بذلك إلا بهذه الطريقة: 123456 ، 78. يوفر تنسيق النقطة العائمة نطاقًا كاملاً للتعبير. على سبيل المثال ، يتم إعطاء نفس الأرقام الثمانية. يمكن أن يكون هناك أي عدد من خيارات التسجيل ، إذا لم يبخل المبرمج في الالتزام بإنشاء حقل إضافي مكون من رقمين ، حيث سيكتب الأسس ، والتي تكون عادةً 10 ، من 0 إلى 16 ، وإجمالي عدد الأرقام سيكون عشرة: 8 + 2.
بعض الملاحظات التي يسمح بها تنسيق الفاصلة العائمة: 12345678000000000000؛ 0.0000012345678 ؛ 123 ، 45678 ؛ 1 ، 2345678 وهلم جرا. هذا التنسيق لديه حتى وحدة سرعة! أو بالأحرى سرعة نظام الحوسبة ، التي تحدد السرعة التي يعمل بها الكمبيوترالعمليات التي يوجد فيها تمثيل لأرقام الفاصلة العائمة. يتم قياس هذا الأداء بوحدات FLOPS (عمليات الفاصلة العائمة في الثانية ، والتي تُترجم على أنها عدد العمليات في الثانية بأرقام الفاصلة العائمة). هذه الوحدة هي الوحدة الرئيسية في قياس سرعة نظام الحوسبة.
هيكل
اكتب رقمًا بتنسيق الفاصلة العائمة على النحو التالي ، مع مراعاة تسلسل الأجزاء المطلوبة ، نظرًا لأن هذا الترميز أسي ، حيث يتم تمثيل الأرقام الحقيقية على شكل الجزء العشري والأس. هذا ضروري لتمثيل الأعداد الكبيرة والصغيرة جدًا ، فهي أكثر ملاءمة للقراءة. الأجزاء الإلزامية: الرقم المراد كتابته (N) ، الجزء العشري (M) ، علامة الأس (p) والأس (n). آخر حرفين يشكلان خصائص الرقم. ومن ثم ، N=M. p. هذه هي الطريقة التي تتم بها كتابة أرقام الفاصلة العائمة. ستختلف الأمثلة.
1. من الضروري كتابة الرقم مليون حتى لا يتم الخلط بين الأصفار. 1000000 تدوين طبيعي ، حسابي. والكمبيوتر يبدو كالتالي: 1، 0.106. أي عشرة أس ستة - ثلاثة أرقام ، والتي تناسب ما يصل إلى ستة أصفار. هذه هي الطريقة التي يتم بها تمثيل أرقام الفاصلة الثابتة والعائمة ، حيث يمكن اكتشاف الاختلافات في الهجاء على الفور.
2. ويمكن أيضًا كتابة رقم صعب مثل 1435000000 (مليار وأربعمائة وخمسة وثلاثون ألفًا) ببساطة: 1 ، 435.109، فقط. وبالمثل مع علامة الطرحيمكنك كتابة أي رقم. هذه هي الطريقة التي تختلف بها أرقام الفاصلة الثابتة والعائمة عن بعضها البعض.
لكن هذه أعداد كبيرة ، فماذا عن الأرقام الصغيرة؟ نعم ، إنه سهل أيضًا.
3. على سبيل المثال ، كيف تدل على المليون؟ 0 ، 000001=1 ، 0.10-6. يتم تسهيل كتابة الرقم وقراءته بشكل كبير.
4. وأكثر صعوبة؟ خمسمائة وستة وأربعون من المليار: 0 ، 000000546=546.10-9. هنا. نطاق تمثيل أرقام الفاصلة العائمة واسع جدًا.
الشكل
يمكن أن يكون شكل الأرقام عاديًا أو عاديًا. عادي - تحترم دائمًا دقة أرقام الفاصلة العائمة. وتجدر الإشارة إلى أن الجزء العشري في هذا الشكل ، متجاهلاً الإشارة ، يقع في نصف الفترة الزمنية: 0 1 ، مما يعني أن 0 a < 1. ليس بالشكل العادي ، يفقد الرقم دقته. عيب الشكل العادي للرقم هو أنه يمكن كتابة العديد من الأرقام بطرق مختلفة ، أي بشكل غامض. مثال على تدوين مختلف للرقم نفسه: 0 ، 0001=0 ، 000001.102=0 ، 00001.101=0 ، 0001.100=0 ، 001.10-1=0 ، 01.10-2و أكثر من ذلك بكثير ممكن. هذا هو السبب في أن علوم الكمبيوتر تستخدم شكلًا مختلفًا ومعيارًا للترميز ، حيث يأخذ الجزء العشري للأرقام العشرية قيمة من واحد (شامل) وبالتالي يصل إلى عشرة (غير شامل) ، وبنفس الطريقة يأخذ الجزء العشري من الأرقام الثنائية قيمة من واحد (شامل) إلى اثنين (غير شامل).
إذن ، 1 ⩽ a < 10. هذه أرقام ثنائية عائمة ، وهذا الشكل من التدوين يلتقط أي رقم (باستثناء الصفر) بطريقة فريدة. ولكن هناك أيضًا عيبًا - عدم القدرة على تمثيل الصفر بهذا الشكل. لذلك ، يوفر علم الكمبيوتر استخدام علامة خاصة (بت) للرقم 0. الجزء الصحيح من الرقم (الترتيب العالي) للجزء العشري في رقم ثنائي ، باستثناء الصفر ، في الشكل المقيس هو 1 (واحد ضمني). يتم استخدام هذا الترميز بواسطة معيار IEEE 754. أنظمة الأرقام الموضعية ، حيث تكون القاعدة أكبر من نظامين (نظام ثلاثي ورباعي وأنظمة أخرى) ، لم تحصل على هذه الخاصية.
أرقام حقيقية
أرقام الفاصلة العائمة الحقيقية عادة ما تكون هي الوحيدة ، لأن هذه ليست الطريقة الوحيدة ، ولكنها مناسبة جدًا لتمثيل رقم حقيقي ، كما لو كان حل وسط بين نطاق القيم والدقة. هذا تناظري للتدوين الأسي ، يتم إجراؤه فقط في الكمبيوتر. رقم الفاصلة العائمة هو مجموعة من الأرقام الثنائية المنفصلة مقسمة إلى علامة (علامة) ، وأس (أس) وعشري (فرس النبي). يمثل تنسيق IEEE 754 الأكثر شيوعًا رقم الفاصلة العائمة كمجموعة من البتات التي تشفر الجزء العشري من جزء واحد ، والدرجة مع الجزء الآخر ، ويشار إلى علامة الرقم بتة واحدة: الصفر إذا كان موجبًا ، واحد إذا كان الرقم سالبًا. الترتيب بأكمله مكتوب في صورة عدد صحيح (رمز مع إزاحة) ، والعظم العشري - في شكل طبيعي ، الجزء الكسري - في النظام الثنائي.
كل حرف هو بت واحد يشيرتسجيل رقم الفاصلة العائمة بالكامل. Mantissa و الأس هي أعداد صحيحة ، مع وجود علامة يمثلان رقم الفاصلة العائمة. يمكن أن يسمى الترتيب الأس أو الأس. لا يمكن تمثيل جميع الأرقام الحقيقية في الكمبيوتر بقيمتها الدقيقة ، بينما يتم تمثيل الباقي كقيم تقريبية. هناك خيار أبسط بكثير وهو تمثيل رقم حقيقي بنقطة ثابتة ، حيث سيتم تخزين الجزء الحقيقي والجزء الصحيح بشكل منفصل. على الأرجح ، بحيث يتم دائمًا تعيين الجزء الصحيح X بتات ، والجزء الكسري - Y بت. لكن معماريات المعالج لا تعرف بهذه الطريقة ، وبالتالي يتم إعطاء الأفضلية لرقم الفاصلة العائمة.
إضافة
إضافة الفاصلة العائمة بسيطة للغاية. نظرًا لمعيار IEEE 754 ، يحتوي رقم الدقة الفردي على عدد هائل من البتات ، لذلك من الأفضل القفز مباشرة إلى الأمثلة ، ومن الأفضل أخذ أصغر تمثيل للنقطة العائمة للرقم. على سبيل المثال ، رقمان - X و Y.
| متغير | تسجيل | عارض | Mantissa |
| X | 0 | 1001 | 110 |
| Y | 0 | 0111 | 000 |
الخطوات ستكون:
أ) يجب تقديم الأرقام بشكل طبيعي. يتم تمثيل الوحدة المخفية بشكل صريح. X=1.110.22و Y=1.000.2 0.
ب) لا يمكنك متابعة عملية الجمع إلا بالتعادلالأس ، ولهذا تحتاج إلى إعادة كتابة قيمة Y. وسوف تتوافق مع قيمة الرقم المعياري ، على الرغم من أنه في الواقع غير منسق.
احسب الفرق بين الأس من 2 - 0=2. الآن انقل الجزء العشري للتعويض عن هذه التغييرات ، أي أضف 2 إلى أس المصطلح الثاني ، وبالتالي إزاحة فاصلة الوحدة المخفية نقطتين إلى اليسار. اتضح 0 ، 0100.22. سيكون هذا مكافئًا للقيمة السابقة لـ Y ، أي بالفعل Y '.
ج) الآن تحتاج إلى إضافة mantissas من الرقم X و Y المصحح.
1، 110 + 0، 01=10، 0
الأس لا يزال مساويًا لقيمة X المقدمة ، وهي 2.
د) لقد أدى المجموع الذي تم الحصول عليه في المرحلة السابقة إلى تغيير وحدة التسوية ، لذلك تحتاج إلى إزاحة الأس وتكرار الجمع. 10 ، 0 مع بتتين على يسار الفاصلة العشرية ، والآن يجب تسوية الرقم ، أي تحريك الفاصلة العشرية إلى اليسار بمقدار نقطة واحدة ، وزيادة الأس بمقدار 1 وفقًا لذلك. يتضح أن 1000.2 3.
e) حان الوقت لتحويل رقم الفاصلة العائمة إلى نظام أحادي البايت.
| المبلغ | تسجيل | عارض | Mantissa |
| X + Y | 0 | 1010 | 000 |
الخلاصة
كما ترى ، فإن إضافة مثل هذه الأرقام ليس بالأمر الصعب للغاية ، ولا شيء تطفو الفاصلة. ما لم نحسب ، بالطبع ، تقليل رقم ذي أس أصغر إلى رقم برقم أكبر (في المثال المعطى ، كانت هذه من Y إلى X) ، وكذلك استعادة الوضع الراهن ، أي اصدار تعويض -حرك الفاصلة العشرية للجزء العشري إلى اليسار. عندما تكون الإضافة قد تم بالفعل ، هناك صعوبة أخرى ممكنة للغاية - إعادة التطبيع واقتطاع البتات إذا كان عددها لا يتطابق مع تنسيق الأرقام لتمثيلها.
الضرب
يوفر نظام الأرقام الثنائية طريقتين لمضاعفة أرقام الفاصلة العائمة. يمكن إنجاز هذه المهمة بضرب يبدأ بأرقام أقل أهمية ويبدأ بأهم الأرقام في المضاعف. تحتوي كلتا الحالتين على عدد من العمليات التي تضيف منتجات جزئية بالتسلسل. يتم التحكم في عمليات الإضافة هذه بواسطة بتات المضاعف. هذا يعني أنه إذا كانت هناك وحدة في أحد أرقام المضاعف ، فإن مجموع حاصل الضرب الجزئي يزيد بمقدار المضاعف مع التحول المقابل. وإذا تسلل الصفر إلى فئة المضاعف ، فلا يتم إضافة المضاعف
إذا تم ضرب رقمين فقط ، فإن أرقام المنتج في عددها لا يمكن أن تتجاوز عدد الأرقام الموجودة في العوامل بأكثر من الضعف ، وبالنسبة للأعداد الكبيرة فهذا كثير جدًا. إذا تم مضاعفة عدة أرقام ، فإن المنتج يخاطر بعدم الملاءمة على الشاشة. لذلك ، فإن عدد أرقام أي آلة رقمية محدود تمامًا ، وهذا يجبرنا على تقييد أنفسنا بحد أقصى يبلغ ضعف عدد أرقام أجهزة الجمع. وإذا كان عدد الأرقام محدودًا ، فسيتم إدخال خطأ حتمًا في المنتج. إذا كان حجم الحسابات كبيرًا ، فسيتم فرض الأخطاء ، ونتيجة لذلك ، يزداد إجمالي الخطأ بشكل كبير. هناالسبيل الوحيد للخروج هو تقريب نتائج الضرب ، ثم يتضح أن خطأ المنتج هو تغيير التوقيع. عند إجراء عملية الضرب ، يصبح من الممكن تجاوز شبكة الأرقام ، ولكن فقط من جانب الأرقام السفلية ، نظرًا لوجود قيود مفروضة على الأرقام التي يتم تمثيلها في النموذج بفاصلة ثابتة.
بعض التوضيحات
الأفضل أن نبدأ من جديد. الطريقة الأكثر شيوعًا لتمثيل رقم هي كسلسلة من الأرقام كعدد صحيح ، مع وجود فاصلة في نهايته. يمكن أن تكون هذه السلسلة بأي طول ، وتكون الفاصلة في المكان المناسب لها ، وتفصل العدد الصحيح عن الجزء الكسري. تنسيق تمثيل رقم بنقطة ثابتة ، يحدد النظام بالضرورة شروطًا معينة فيما يتعلق بموقع الفاصلة. يستخدم التدوين الأسي التمثيل المعياري القياسي للأرقام. هذا هو q n { displaystyle aq ^ {n}} aq . هنا { displaystyle a}a، وهذا الدانتيل يسمى الجزء العشري. كان هذا بالضبط ما قيل أنه 0 ⩽ a < q. بعد ذلك ، يجب أن يكون كل شيء واضحًا: n {/ displaystyle n}nهو عدد صحيح ، وأس ، و q {/ displaystyle q}qهي أيضًا عدد صحيح هو أساس نظام الأعداد هذا (وغالبًا ما يكون في الكتابة 10). سيترك الجزء العشري فاصلة بعد الرقم الأول ، وهو ليس صفرًا ، ولكن يتم إرسال معلومات أخرى على طول السجل حول القيمة الحقيقية للرقم.
رقم الفاصلة العائمة مكتوب بشكل مشابه جدًا للترميز القياسي للأرقام المفهومة ، تتم كتابة الأس والجزء العشري فقط بشكل منفصل. هذا الأخير أيضا فيتنسيق عادي - بنقطة ثابتة تزين أول رقم مهم. إنه فقط أن النقطة العائمة تُستخدم بشكل أساسي في الكمبيوتر ، أي في التمثيل الإلكتروني ، حيث لا يكون النظام عشريًا ، بل ثنائيًا ، حيث يتم إلغاء تسوية الجزء العشري من خلال إعادة ترتيب الفاصلة - وهو الآن قبل الرقم الأول ، مما يعني قبله وليس بعده ، حيث قد لا يكون الجزء الصحيح من حيث المبدأ. على سبيل المثال ، سيعرض نظامنا العشري الأصلي الرقم التسعة للنظام الثنائي للاستخدام المؤقت. وستقوم بتدوينها باستخدام الفاصلة العائمة في الجزء العشري مثل هذا: +1001000 … 0 ، والمؤشر +0 … 0100 إليها. ومع ذلك ، لن يكون النظام العشري قادرًا على إجراء مثل هذه الحسابات المعقدة لأن النظام الثنائي ممكن باستخدام نموذج النقطة العائمة.
حساب طويل
في أجهزة الكمبيوتر الإلكترونية ، توجد حزم برامج مدمجة ، حيث يتم ضبط مقدار الذاكرة المخصصة للعظم العشري والأس على برمجيًا ، ويقتصر فقط على حجم ذاكرة الكمبيوتر. هذه هي المدة التي تبدو عليها العمليات الحسابية ، أي العمليات البسيطة على الأرقام التي يقوم بها الكمبيوتر. كلها متشابهة - الطرح والجمع ، القسمة والضرب ، الدوال الأولية والرفع إلى الجذر. لكن الأرقام فقط مختلفة تمامًا ، ويمكن أن تتجاوز سعتها بشكل كبير طول كلمة الآلة. لا يحدث تنفيذ مثل هذه العمليات في الأجهزة ، ولكن في البرامج ، ولكن يتم استخدام الأجهزة الأساسية على نطاق واسع في العمل مع عدد من الطلبات الأقل بكثير. هناك أيضًا عملية حسابية ، حيث يقتصر طول الأرقام على الحجم فقطالذاكرة - الدقة الحسابية التعسفية. وطول الحساب يستخدم في كثير من المجالات
1. لتجميع الكود (المعالجات ، وحدات التحكم الدقيقة ذات عمق البت المنخفض - في سجلات 10 بت وثمانية بتات ، من الواضح أن هذا لا يكفي لمعالجة المعلومات من التناظرية إلى الرقمية (المحول التناظري إلى الرقمي) ، وبالتالي لا يمكن إجراء العمليات الحسابية الطويلة الاستغناء عن
2. أيضًا ، يتم استخدام الحساب الطويل للتشفير ، حيث يكون من الضروري التأكد من دقة نتيجة الأس أو الضرب حتى 10309. يتم استخدام الحساب الصحيح modulo m - عدد طبيعي كبير ، وليس بالضرورة عددًا أوليًا.
3. لا يمكن لبرامج الممولين والرياضيين أيضًا الاستغناء عن العمليات الحسابية الطويلة ، لأن هذه هي الطريقة الوحيدة للتحقق من نتائج العمليات الحسابية على الورق - باستخدام الكمبيوتر ، مما يضمن دقة عالية للأرقام. النقطة العائمة ، يمكن أن تتضمن ما دمت تريد عمق بت. لكن الحسابات الهندسية وعمل العلماء نادرًا ما يتطلب تدخل حسابات البرمجيات ، لأنه من الصعب جدًا إدخال بيانات الإدخال دون ارتكاب أخطاء. عادة ما تكون أكبر بكثير من نتائج التقريب
محاربة الأخطاء
من الصعب جدًا تقييم خطأ النتائج في العمليات بالأرقام حيث تكون الفاصلة عائمة. حتى الآن ، لم يتم اختراع نظرية رياضية ترضي الجميع من شأنها أن تساعد في حل هذه المشكلة. لكن من السهل تقدير الأخطاء مع الأعداد الصحيحة. تكمن إمكانية التخلص من عدم الدقة على السطح - ما عليك سوى استخدام الأرقام فقط معفاصلة ثابتة. على سبيل المثال ، البرامج المالية مبنية بالضبط على هذا المبدأ. ومع ذلك ، فهو أبسط هناك: العدد المطلوب من الأرقام بعد الفاصلة العشرية معروف مسبقًا.
لا يمكن للتطبيقات الأخرى أن تقتصر على هذا ، لأنه من المستحيل العمل بأعداد صغيرة جدًا أو كبيرة جدًا. لذلك ، عند العمل ، يؤخذ دائمًا في الاعتبار أن عدم الدقة أمر ممكن ، وبالتالي ، عند عرض النتائج ، من الضروري التقريب. علاوة على ذلك ، فإن التقريب التلقائي غالبًا ما يكون إجراءً غير كافٍ ، وبالتالي يتم تعيين التقريب عن قصد. عملية المقارنة خطيرة للغاية في هذا الصدد. من الصعب للغاية تقدير حجم الأخطاء المستقبلية هنا.
