عند دراسة خصائص المعادلة التربيعية ، تم وضع قيد - لمميز أقل من الصفر ، لا يوجد حل. تم النص على الفور على أننا نتحدث عن مجموعة من الأرقام الحقيقية. سيكون العقل الفضولي لعالم الرياضيات مهتمًا - ما هو السر الموجود في الجملة حول القيم الحقيقية؟
مع مرور الوقت ، قدم علماء الرياضيات مفهوم الأعداد المركبة ، حيث يتم أخذ القيمة الشرطية للجذر الثاني لسالب واحد كوحدة.
الخلفية التاريخية
تتطور النظرية الرياضية بالتتابع ، من البسيط إلى المعقد. لنكتشف كيف نشأ المفهوم المسمى "العدد المركب" ولماذا هناك حاجة إليه.
منذ زمن سحيق ، كان أساس الرياضيات هو الحساب المعتاد. لم يعرف الباحثون سوى مجموعة القيم الطبيعية. كانت عمليات الجمع والطرح بسيطة. عندما أصبحت العلاقات الاقتصادية أكثر تعقيدًا ، بدأ استخدام الضرب بدلاً من إضافة نفس القيم. هناك عملية عكسية لالضرب - القسمة.
حد مفهوم العدد الطبيعي من استخدام العمليات الحسابية. من المستحيل حل جميع مسائل القسمة على مجموعة القيم الصحيحة. أدى العمل مع الكسور أولاً إلى مفهوم القيم المنطقية ، ثم إلى القيم غير المنطقية. إذا كان من الممكن الإشارة إلى الموقع الدقيق للنقطة على الخط من أجل العقلاني ، فمن المستحيل الإشارة إلى مثل هذه النقطة بالنسبة لللاعقلانية. يمكنك فقط تقريب الفاصل الزمني. شكل اتحاد الأعداد المنطقية وغير المنطقية مجموعة حقيقية ، والتي يمكن تمثيلها كخط معين بمقياس معين. كل خطوة على طول الخط هي رقم طبيعي ، وبينهما قيم منطقية وغير منطقية.
بدأ عصر الرياضيات النظرية. تطلب تطوير علم الفلك والميكانيكا والفيزياء حل معادلات أكثر وأكثر تعقيدًا. بشكل عام ، تم العثور على جذور المعادلة التربيعية. عند حل كثير الحدود المكعب الأكثر تعقيدًا ، واجه العلماء تناقضًا. مفهوم الجذر التكعيبي من السالب منطقي ، ولكن بالنسبة للجذر التربيعي ، يتم الحصول على عدم اليقين. علاوة على ذلك ، فإن المعادلة التربيعية ليست سوى حالة خاصة للمعادلة التكعيبية.
في عام 1545 ، اقترح الإيطالي ج. كاردانو تقديم مفهوم الرقم التخيلي.
هذا الرقم هو الجذر الثاني لسالب واحد. تم تشكيل مصطلح العدد المركب أخيرًا بعد ثلاثمائة عام فقط ، في أعمال عالم الرياضيات الشهير غاوس. اقترح رسمياً توسيع جميع قوانين الجبر إلى العدد التخيلي. تم تمديد الخط الحقيقي إلىطائرات. العالم أكبر
مفاهيم أساسية
استدعاء عدد من الوظائف التي لها قيود على المجموعة الحقيقية:
- y=arcsin (x) المحدد بين الموجب والسالب 1.
- y=ln (x) ، اللوغاريتم العشري له معنى مع الحجج الإيجابية.
- الجذر التربيعي y=√x ، محسوب فقط لـ x ≧ 0.
دلالة i=√ (-1) ، نقدم مفهومًا كعدد وهمي ، سيؤدي ذلك إلى إزالة جميع القيود من مجال تعريف الوظائف المذكورة أعلاه. تعبيرات مثل y=arcsin (2) ، y=ln (-4) ، y=√ (-5) لها معنى في مساحة معينة من الأعداد المركبة.
يمكن كتابة الصيغة الجبرية كتعبير z=x + i × y على مجموعة قيم x و y الحقيقية ، و i2=-1.
يزيل المفهوم الجديد جميع القيود المفروضة على استخدام أي دالة جبرية ويشبه الرسم البياني لخط مستقيم في إحداثيات القيم الحقيقية والخيالية.
طائرة معقدة
يسمح لنا الشكل الهندسي للأعداد المركبة بصريًا بتمثيل العديد من خصائصها. على المحور Re (z) ، نحدد قيم x الحقيقية ، على Im (z) - القيم التخيلية لـ y ، ثم ستعرض النقطة z على المستوى القيمة المعقدة المطلوبة.
تعريفات:
- Re (z) - محور حقيقي
- Im (z) - تعني المحور التخيلي
- z - النقطة الشرطية للعدد المركب.
- تسمى القيمة العددية لطول المتجه من صفر إلى عوحدة
- المحاور الحقيقية والخيالية تقسم الطائرة إلى أرباع. ذات قيمة موجبة للإحداثيات - أنا ربع. عندما تكون وسيطة المحور الحقيقي أقل من 0 ويكون المحور التخيلي أكبر من 0 إلى الربع الثاني. عندما تكون الإحداثيات سالبة - الربع الثالث. يحتوي الربع الأخير الأخير على العديد من القيم الحقيقية الموجبة والقيم التخيلية السلبية.
وهكذا ، على مستوى مع قيم إحداثيات x و y ، يمكن للمرء دائمًا تصور نقطة من رقم مركب. تم تقديم الحرف i لفصل الجزء الحقيقي عن الجزء التخيلي
خصائص
- عندما تكون قيمة الوسيطة التخيلية صفرًا ، نحصل على رقم فقط (z=x) ، والذي يقع على المحور الحقيقي وينتمي إلى المجموعة الحقيقية.
- حالة خاصة عندما تصبح قيمة الوسيطة الحقيقية صفرًا ، فإن التعبير z=i × y يتوافق مع موقع النقطة على المحور التخيلي.
- الصيغة العامة لـ z=x + i × y ستكون للقيم غير الصفرية للوسيطات. يشير إلى موقع النقطة التي تميز العدد المركب في أحد الأرباع.
تدوين مثلثي
تذكر نظام الإحداثيات القطبية وتعريف الدوال المثلثية sin و cos. من الواضح أنه بمساعدة هذه الوظائف ، من الممكن وصف موقع أي نقطة على المستوى. للقيام بذلك ، يكفي معرفة طول الشعاع القطبي وزاوية الميل للمحور الحقيقي.
التعريف. يُطلق على إدخال الشكل ∣z ∣ مضروبًا في مجموع الدوال المثلثية cos (ϴ) والجزء التخيلي i × sin (ϴ) عددًا مثلثيًا مركبًا. هنا التعيين هو زاوية الميل للمحور الحقيقي
ϴ=arg (z) و r=∣z∣، طول الشعاع.
من تعريف وخصائص الدوال المثلثية ، تتبع صيغة Moivre بالغة الأهمية:
zn=r × (cos (n × ϴ) + i × sin (n × ϴ)).
باستخدام هذه الصيغة ، من الملائم حل العديد من أنظمة المعادلات التي تحتوي على وظائف مثلثية. خاصة عند ظهور مشكلة الصعود الى السلطة
الوحدة النمطية والمرحلة
لإكمال وصف مجموعة معقدة ، نقترح تعريفين مهمين.
بمعرفة نظرية فيثاغورس ، من السهل حساب طول الحزمة في نظام الإحداثيات القطبية.
r=∣z∣=√ (x2+ y2) ، مثل هذا التدوين على مساحة معقدة يسمى " وحدة "ويميز المسافة من 0 إلى نقطة على المستوى.
زاوية ميل الحزمة المعقدة إلى الخط الحقيقي ϴ تسمى عادة المرحلة.
يوضح التعريف أن الأجزاء الحقيقية والخيالية موصوفة باستخدام وظائف دورية. وهي:
- x=r × cos (ϴ) ؛
- y=r × sin (ϴ) ؛
بشكل عكسي ، ترتبط المرحلة بالقيم الجبرية من خلال الصيغة:
ϴ=arctan (x / y) + ، تم إدخال التصحيح µ لمراعاة تواتر الوظائف الهندسية.
صيغة أويلر
غالبًا ما يستخدم علماء الرياضيات الصيغة الأسية. تتم كتابة الأرقام المستوية المركبة على هيئة تعبيرات
z=r × ei×ϴ، والتي تتبع صيغة أويلر.
يستخدم هذا السجل على نطاق واسع في الحساب العملي للكميات المادية. شكل العرض في النموذجتعد الأرقام المعقدة الأسية ملائمة بشكل خاص للحسابات الهندسية ، حيث يصبح من الضروري حساب الدوائر ذات التيارات الجيبية ومن الضروري معرفة قيمة تكاملات الوظائف في فترة معينة. الحسابات نفسها بمثابة أداة في تصميم مختلف الآلات والآليات.
تحديد العمليات
كما ذكرنا سابقًا ، تنطبق جميع القوانين الجبرية للعمل مع الدوال الرياضية الأساسية على الأعداد المركبة.
مجموع العملية
عند إضافة قيم معقدة ، يتم أيضًا إضافة أجزائها الحقيقية والخيالية.
z=z1+ z2حيث z1و z2- الأعداد المركبة العامة. تحويل التعبير ، بعد فتح الأقواس وتبسيط الترميز ، نحصل على الوسيطة الحقيقية x=(x1+ x2 ) ، الوسيطة التخيلية y=(y 1+ y2).
على الرسم البياني ، يبدو أن إضافة متجهين ، وفقًا لقاعدة متوازي الأضلاع المعروفة.
عملية الطرح
تُعتبر حالة خاصة للإضافة ، عندما يكون أحد الأرقام موجبًا ، يكون الآخر سالبًا ، أي يقع في ربع المرآة. يشبه التدوين الجبري الفرق بين الأجزاء الحقيقية والتخيلية.
z=z1- z2، أو ، مع مراعاة قيم الوسيطات ، على غرار الإضافة العملية ، نحصل عليها للقيم الحقيقية x=(x1- x2) و y التخيلي=(y1- y2).
الضرب على المستوى المعقد
باستخدام قواعد العمل مع كثيرات الحدود ، نشتق الصيغةلحل الأعداد المركبة.
باتباع القواعد الجبرية العامة z=z1× z2، قم بوصف كل وسيطة واذكر منها. يمكن كتابة الأجزاء الحقيقية والخيالية على النحو التالي:
- x=x1× x2- y1× y2،
- y=x1× y2+ x2× y1.
تبدو أكثر جمالا إذا استخدمنا الأعداد المركبة الأسية.
يبدو التعبير كما يلي: z=z1× z2=r1× eiϴ1× r2× e iϴ2=r1× r 2× ei ( ϴ1 +ϴ 2).
وببساطة ، تتضاعف الوحدات وتضاف المراحل.
التقسيم
عند اعتبار عملية القسمة معكوس الضرب ، نحصل على تعبير بسيط في التدوين الأسي. قسمة القيمة z1على z2هي نتيجة قسمة الوحدات النمطية وفرق الطور. رسميًا ، عند استخدام الصيغة الأسية للأرقام المركبة ، يبدو الأمر كما يلي:
z=z1/ z2=r1× eiϴ1/ r2× eiϴ2=r1/ r2 × ei (ϴ1-ϴ2).
في شكل تدوين جبري ، تتم كتابة عملية قسمة أرقام المستوى المركب بشكل أكثر تعقيدًا:
z=z1/ z2.
وصف الحجج وإجراء تحويلات كثيرة الحدود ، من السهل الحصول على القيمx=x1× x2+ y1× y2، على التوالي y=x2× y1- x1× y2، ومع ذلك ، داخل المساحة الموصوفة ، يكون هذا التعبير منطقيًا إذا كان z2≠ 0.
استخراج الجذر
يمكن تطبيق كل ما سبق عند تحديد دوال جبرية أكثر تعقيدًا - رفع أي قوة وعكسها - استخراج الجذر.
باستخدام المفهوم العام للرفع إلى القوة n ، نحصل على التعريف:
zn=(r × eiϴ).
باستخدام الخصائص العامة ، أعد الكتابة على النحو التالي:
zn=rn× eiϴ.
لدينا معادلة بسيطة لرفع رقم مركب إلى قوة
من تعريف الدرجة نحصل على نتيجة مهمة جدا. دائمًا ما تكون القوة الزوجية للوحدة التخيلية 1. أي قوة فردية للوحدة التخيلية هي دائمًا -1.
الآن دعونا ندرس الدالة العكسية - استخراج الجذر.
لسهولة التدوين ، دعنا نأخذ n=2. الجذر التربيعي w للقيمة المركبة z على المستوى المركب C يعتبر التعبير z=± ، وهو صالح لأي وسيطة حقيقية أكبر من أو تساوي صفر. بالنسبة لـ w ≦ 0 ، لا يوجد حل.
دعونا نلقي نظرة على أبسط معادلة من الدرجة الثانية z2=1. باستخدام صيغ الأعداد المعقدة ، أعد كتابة r2× e i2ϴ=r2× ei2ϴ=ei0. يمكن أن نرى من السجل أن r2=1 و ϴ=0 ، لذلك ، لدينا حل فريد يساوي 1.لكن هذا يتعارض مع فكرة أن z=-1 يناسب أيضًا تعريف الجذر التربيعي.
دعنا نكتشف ما لا نأخذه في الحسبان. إذا تذكرنا الترميز المثلثي ، فإننا نستعيد العبارة - مع تغيير دوري في المرحلة ϴ ، لا يتغير الرقم المركب. دع p تشير إلى قيمة الفترة ، ثم لدينا r2× ei2ϴ=e i(0 +p)، حيث 2ϴ=0 + p ، أو ϴ=p / 2. لذلك ، ei0=1 و ei p/ 2=-1. حصلنا على الحل الثاني ، والذي يتوافق مع الفهم العام للجذر التربيعي.
إذن ، للعثور على جذر عشوائي لعدد مركب ، سنتبع الإجراء.
- اكتب الصيغة الأسية w=∣w∣ × ei( arg(w) +pk)، k هو عدد صحيح تعسفي.
- يتم تمثيل الرقم المطلوب أيضًا في نموذج أويلر z=r × eiϴ.
- استخدم التعريف العام لوظيفة استخراج الجذر r ei ϴ=∣w∣ × ei(arg(w) +pk).
- من الخصائص العامة للمساواة بين الوحدات والوسيطات ، نكتب rn=∣w∣ و nϴ=arg (w) + p × k.
- يتم وصف السجل النهائي لجذر العدد المركب بالصيغة z=√∣w∣ × ei( arg (w) +pk) / .
- ملاحظة. قيمة ∣w∣ ، حسب التعريف ،هو رقم حقيقي موجب ، لذا فإن جذر أي درجة منطقي.
المجال و الاقتران
في الختام ، نقدم تعريفين مهمين ليس لهما أهمية تذكر لحل المشكلات التطبيقية ذات الأعداد المركبة ، لكنهما ضروريان لمزيد من التطوير للنظرية الرياضية.
يقال أن تعبيرات الجمع والضرب تشكل حقلاً إذا كانت تلبي البديهيات لأي عناصر من المستوى المعقد z:
- لا يتغير المجموع المركب من تغيير أماكن المصطلحات المعقدة.
- العبارة صحيحة - في تعبير معقد ، يمكن استبدال أي مجموع من رقمين بقيمتهما.
- هناك قيمة محايدة 0 بحيث تكون z + 0=0 + z=z صحيحة.
- لأي ض يوجد عكس - z ، بالإضافة إلى أنه يعطي صفرًا.
- عند تغيير أماكن العوامل المعقدة ، لا يتغير المنتج المعقد.
- يمكن استبدال ضرب أي رقمين بقيمتهما
- هناك قيمة محايدة 1 ، الضرب بها لا يغير الرقم المركب
- لكل z ≠ 0 ، يوجد معكوس لـ z-1، والذي يضرب في 1.
- ضرب مجموع عددين في الثلث يعادل عملية ضرب كل منهما في هذا الرقم وإضافة النتائج.
- 0 ≠ 1.
الأرقام z1=x + i × y و z2=x - i × y تسمى مترافق.
نظرية. بالنسبة للاقتران ، يكون البيان صحيحًا:
- اقتران المجموع يساوي مجموع العناصر المترافقة
- اتحاد المنتج هونتاج الاقتران.
- اقتران الاقتران يساوي الرقم نفسه
في الجبر العام ، تسمى هذه الخصائص أشكال المجال الآلي.
أمثلة
باتباع القواعد والصيغ المحددة للأرقام المركبة ، يمكنك بسهولة التعامل معها.
دعونا ننظر في أبسط الأمثلة.
المشكلة 1. باستخدام المعادلة 3y +5 x i=15-7i ، أوجد x و y.
القرار. تذكر تعريف المساواة المعقدة ، ثم 3 ص=15 ، 5 س=-7. لذلك ، س=-7 / 5 ، ص=5.
المهمة 2. احسب القيم 2 + i28و 1 + i135.
القرار. من الواضح أن 28 عدد زوجي ، من نتيجة تعريف رقم مركب في القوة لدينا i28=1 ، مما يعني أن التعبير 2 + i 28=3. القيمة الثانية ، i135=-1 ، ثم 1 + i135=0.
المهمة 3. احسب ناتج القيم 2 + 5i و 4 + 3i.
القرار. من الخصائص العامة لضرب الأعداد المركبة ، نحصل على (2 + 5i) X (4 + 3i)=8-15 + i (6 + 20). ستكون القيمة الجديدة -7 + 26i.
المهمة 4. احسب جذور المعادلة z3=-i.
القرار. هناك عدة طرق لإيجاد عدد مركب. لنفكر في واحد من الممكن. حسب التعريف ، ∣ - i∣=1 ، مرحلة -i هي -p / 4. يمكن إعادة كتابة المعادلة الأصلية كـ r3 ei 3ϴ=e-p / 4 +pk، من حيث z=e-p / 12 +pk / 3، لأي عدد صحيح k.
مجموعة الحلول لها الشكل (e-ip / 12 ،eip/ 4 ، ei2p / 3).
لماذا نحتاج الأعداد المركبة
يعرف التاريخ العديد من الأمثلة عندما لا يفكر العلماء ، الذين يعملون على نظرية ، حتى في التطبيق العملي لنتائجهم. الرياضيات هي ، أولاً وقبل كل شيء ، لعبة العقل ، والتزام صارم بعلاقات السبب والنتيجة. يتم اختزال جميع التركيبات الرياضية تقريبًا في حل المعادلات التفاضلية والتكاملية ، ويتم حلها بدورها ، مع بعض التقريب ، من خلال إيجاد جذور كثيرات الحدود. هنا نواجه أولاً مفارقة الأرقام الخيالية
علماء الطبيعة ، حل المشكلات العملية تمامًا ، واللجوء إلى حلول المعادلات المختلفة ، واكتشاف المفارقات الرياضية. يؤدي تفسير هذه المفارقات إلى اكتشافات مذهلة للغاية. ومن الأمثلة على ذلك الطبيعة المزدوجة للموجات الكهرومغناطيسية. تلعب الأعداد المركبة دورًا مهمًا في فهم خصائصها.
وهذا بدوره وجد تطبيقًا عمليًا في البصريات وإلكترونيات الراديو والطاقة والعديد من المجالات التكنولوجية الأخرى. مثال آخر ، أكثر صعوبة في فهم الظواهر الفيزيائية. تم توقع المادة المضادة عند طرف قلم. وبعد سنوات عديدة فقط ، بدأت محاولات تركيبه جسديًا.
لا تعتقد أنه توجد مثل هذه المواقف في الفيزياء فقط. لا توجد اكتشافات أقل إثارة للاهتمام في الحياة البرية ، في تخليق الجزيئات الكبيرة ، أثناء دراسة الذكاء الاصطناعي. وكل ذلك بفضلتوسيع وعينا ، والابتعاد عن الجمع والطرح البسيط للقيم الطبيعية.
