ستركز هذه المقالة على قسم خاص من الرياضيات يسمى التوافقية. الصيغ والقواعد والأمثلة على حل المشكلات - كل هذا يمكنك أن تجده هنا من خلال قراءة المقال حتى النهاية.
إذًا ، ما هذا القسم؟ تتعامل التوافقية مع مسألة عد أي كائنات. لكن في هذه الحالة ، الأشياء ليست برقوقًا أو إجاصًا أو تفاحًا ، ولكنها شيء آخر. تساعدنا التوافقية في إيجاد احتمال وقوع حدث. على سبيل المثال ، عند لعب الورق ، ما هو احتمال أن يكون للخصم ورقة رابحة؟ أو مثل هذا المثال - ما هو احتمال أن تحصل على اللون الأبيض تمامًا من كيس من عشرين كرة؟ لهذا النوع من المهام نحتاج إلى معرفة أساسيات هذا القسم على الأقل من الرياضيات.
تكوينات اندماجية
بالنظر إلى مسألة المفاهيم الأساسية وصيغ التوافقية ، لا يسعنا إلا الانتباه إلى التكوينات الاندماجية. يتم استخدامها ليس فقط للصياغة ، ولكن أيضًا لحل المشكلات التجميعية المختلفة. أمثلة على هذه النماذج هي:
- التنسيب ؛
- التقليب ؛
- تركيبة ؛
- تكوين العدد
- رقم الانقسام.
سنتحدث عن الثلاثة الأولى بمزيد من التفصيل لاحقًا ، لكننا سننتبه إلى التكوين والتقسيم في هذا القسم. عندما يتحدثون عن تكوين رقم معين (على سبيل المثال ، أ) ، فإنهم يقصدون تمثيل الرقم أ كمجموع مرتب لبعض الأرقام الموجبة. والانقسام هو مجموع غير مرتب.
أقسام
قبل أن نذهب مباشرة إلى معادلات التوافقية والنظر في المسائل ، يجدر الانتباه إلى حقيقة أن التوافقيات ، مثل أقسام الرياضيات الأخرى ، لها أقسامها الفرعية الخاصة بها. وتشمل هذه:
- عددي ؛
- هيكلي ؛
- متطرف
- نظرية رامزي ؛
- احتمالي ؛
- طوبولوجي ؛
- لانهائي.
في الحالة الأولى ، نحن نتحدث عن التوافقية العددي ، فالمشكلات تنظر في تعداد أو عد التكوينات المختلفة التي تتكون من عناصر المجموعات. كقاعدة عامة ، يتم فرض بعض القيود على هذه المجموعات (قابلية التمييز وعدم القدرة على التمييز وإمكانية التكرار وما إلى ذلك). ويتم حساب عدد هذه التكوينات باستخدام قاعدة الجمع أو الضرب التي سنتحدث عنها بعد قليل. التوليفات الهيكلية تشمل نظريات الرسوم البيانية و matroids. مثال على مشكلة التوافقية القصوى هو الحجم الأكبر للرسم البياني الذي يلبي الخصائص التالية … في الفقرة الرابعة ، ذكرنا نظرية رامزي ، التي تدرس وجود الهياكل المنتظمة في التكوينات العشوائية. احتماليةالتوافقية قادرة على الإجابة على السؤال - ما هو احتمال أن يكون لمجموعة معينة خاصية معينة. كما قد تتخيل ، فإن التوافقيات الطوبولوجية تطبق طرقًا في الطوبولوجيا. وأخيرًا ، النقطة السابعة - التوافقية اللانهائية تدرس تطبيق طرق التوافقية على المجموعات اللانهائية.
إضافة القاعدة
من بين الصيغ التوافقية ، يمكن للمرء أن يجد صيغًا بسيطة جدًا ، كنا على دراية بها لفترة طويلة. مثال على ذلك هو قاعدة الجمع. لنفترض أننا حصلنا على إجراءين (C و E) ، إذا كانا متنافيين ، فيمكن تنفيذ الإجراء C بعدة طرق (على سبيل المثال ، أ) ، ويمكن تنفيذ الإجراء E بطرق b ، ثم أي منها (C أو E) يمكن أن يتم بطريقة أ + ب.
من الناحية النظرية ، يصعب فهم هذا الأمر ، سنحاول نقل الموضوع برمته بمثال بسيط. لنأخذ متوسط عدد الطلاب في الفصل الواحد - لنفترض أنه خمسة وعشرون طالبًا. من بينهم خمسة عشر فتاة وعشرة أولاد. يتم تعيين مضيف واحد للفصل يوميًا. كم عدد الطرق المتاحة لتعيين حاضر في الفصل اليوم؟ حل المشكلة بسيط للغاية ، سنلجأ إلى قاعدة الإضافة. لا ينص نص المهمة على أن الأولاد فقط أو البنات فقط هم من يمكنهم أداء الواجب. لذلك ، يمكن أن تكون أيًا من الفتيات الخمس عشرة أو أيًا من الأولاد العشرة. بتطبيق قاعدة المجموع ، نحصل على مثال بسيط إلى حد ما يمكن لطالب المدرسة الابتدائية التعامل معه بسهولة: 15 + 10. بعد الحساب ، نحصل على الإجابة: خمسة وعشرون. أي ، هناك 25 طريقة فقطتعيين فئة واجب لهذا اليوم.
قاعدة الضرب
تنتمي قاعدة الضرب أيضًا إلى الصيغ الأساسية للتوافقيات. لنبدأ بالنظرية. افترض أننا بحاجة إلى تنفيذ عدة إجراءات (أ): يتم تنفيذ الإجراء الأول بطريقتين ، والثاني - بطريقتين ، والثالث - بثلاث طرق ، وهكذا حتى يتم تنفيذ الإجراء الأخير بطريقة sa. ثم يمكن تنفيذ كل هذه الإجراءات (التي لدينا إجماليها) بطرق N. كيف تحسب المجهول N؟ ستساعدنا الصيغة في هذا: N \u003d c1c2c3…ca.
مرة أخرى ، لا يوجد شيء واضح من الناحية النظرية ، دعنا ننتقل إلى مثال بسيط لتطبيق قاعدة الضرب. لنأخذ نفس الفصل المكون من خمسة وعشرين شخصًا ، حيث تدرس فيه خمس عشرة فتاة وعشرة فتيان. هذه المرة فقط نحتاج إلى اختيار حاضرين. يمكن أن يكونوا إما فتيانًا أو فتيات فقط ، أو صبيًا مع فتاة. ننتقل إلى الحل الأولي للمشكلة. نختار المصاحب الأول ، كما قررنا في الفقرة الأخيرة ، نحصل على خمسة وعشرين خيارًا ممكنًا. يمكن أن يكون الشخص الثاني في الخدمة أيًا من الأشخاص المتبقين. كان لدينا خمسة وعشرون طالبًا ، واخترنا واحدًا ، مما يعني أن أيًا من الأشخاص الأربعة والعشرين المتبقين يمكن أن يكون الثاني في الخدمة. أخيرًا ، طبقنا قاعدة الضرب ووجدنا أنه يمكن اختيار الحاضرين بستمائة طريقة. حصلنا على هذا الرقم بضرب 25 في 24.
مبادلة
الآن سننظر في صيغة توافقية أخرى. في هذا القسم من المقال ، نحندعنا نتحدث عن التباديل. ضع في اعتبارك المشكلة على الفور بمثال. لنأخذ كرات البلياردو ، لدينا العدد التاسع منهم. نحتاج إلى حساب: كم عدد الخيارات الموجودة لترتيبها في صف ، أي لإنشاء مجموعة مرتبة.
لنبدأ ، إذا لم يكن لدينا كرات ، فلن يكون لدينا أيضًا خيارات للتنسيب. وإذا كانت لدينا كرة واحدة ، فسيكون الترتيب هو نفسه أيضًا (رياضياً ، يمكن كتابة هذا على النحو التالي: Р1=1). يمكن ترتيب كرتين بطريقتين مختلفتين: 1 ، 2 ، 2 ، 1. لذلك ، Р2=2. يمكن ترتيب ثلاث كرات بستة طرق (Р3=6): 1 ، 2 ، 3 ؛ 1 ، 3 ، 2 ؛ 2 ، 1 ، 3 ؛ 2 ، 3 ، 1 ؛ 3 ، 2 ، 1 ؛ 3 ، 1 ، 2. وإذا لم يكن هناك ثلاث كرات من هذا القبيل ، بل عشرة أو خمسة عشر؟ إن قائمة جميع الخيارات الممكنة طويلة جدًا ، فإن التوافقيات تأتي لمساعدتنا. ستساعدنا صيغة التقليب في إيجاد إجابة سؤالنا. Pn=nP (n-1). إذا حاولنا تبسيط الصيغة ، نحصل على: Pn=n(n - 1)…21. وهذا هو حاصل ضرب أول الأعداد الطبيعية. يُطلق على هذا الرقم اسم عاملي ، ويُشار إليه بالرمز n!
دعونا ننظر في المشكلة. يبني القائد كل صباح انفصاله في طابور (عشرين شخصًا). هناك ثلاثة أصدقاء مقربين في الوحدة - كوستيا وساشا وليشا. ما هو احتمال أن يكونوا بجانب بعضهم البعض؟ للعثور على إجابة السؤال ، تحتاج إلى قسمة احتمال نتيجة "جيدة" على العدد الإجمالي للنتائج. العدد الإجمالي للتباديل هو 20!=2.5 كوينتيليون. كيف نحسب عدد النتائج "الجيدة"؟ افترض أن كوستيا وساشا وليشا هم سوبرمان واحد. بعدها نحنلدينا ثمانية عشر موضوعا فقط. عدد التباديل في هذه الحالة هو 18=6.5 كوادريليون. مع كل هذا ، يمكن لـ Kostya و Sasha و Lesha التحرك بشكل تعسفي فيما بينهم في ثلاثية غير قابلة للتجزئة ، وهذا هو 3 آخرين!=6 خيارات. لذلك لدينا 18 كوكبة "جيدة" في المجموع!3! علينا فقط إيجاد الاحتمال المطلوب: (18!3!) / 20! وهو ما يقرب من 0.016. إذا تم تحويلها إلى نسبة مئوية ، فقد تكون 1.6٪ فقط.
الإقامة
الآن سننظر في صيغة توافقية أخرى مهمة جدًا وضرورية. الإقامة هي مشكلتنا التالية ، والتي نقترح عليك أخذها في الاعتبار في هذا القسم من المقالة. سنصبح أكثر تعقيدًا. لنفترض أننا نريد النظر في التباديل المحتمل ، ليس فقط من المجموعة الكاملة (ن) ، ولكن من مجموعة أصغر (م). وهذا يعني أننا نعتبر التباديل لـ n من العناصر بواسطة m
لا ينبغي فقط حفظ الصيغ الأساسية للتوافقيات ، بل يجب فهمها. على الرغم من حقيقة أنها أصبحت أكثر تعقيدًا ، حيث لا يوجد لدينا معيار واحد ، بل معلمتان. افترض أن m \u003d 1 ، ثم A \u003d 1 ، m \u003d 2 ، ثم A \u003d n(n - 1). إذا قمنا بتبسيط الصيغة وتحولنا إلى الترميز باستخدام العوامل ، نحصل على صيغة موجزة تمامًا: A \u003d n! / (ن - م)!
مزيج
لقد نظرنا تقريبًا في جميع الصيغ الأساسية للتوافقيات مع الأمثلة. الآن دعنا ننتقل إلى المرحلة الأخيرة من التفكير في المسار الأساسي للتوليفات - التعرف على المجموعة. الآن سوف نختار m من العناصر التي لدينا ، بينما سنختارها جميعًا بكل الطرق الممكنة. فكيف يختلف هذا عن الإقامة؟ لن نفعلالنظر في الأمر. ستكون هذه المجموعة غير المرتبة مزيجًا.
أدخل الرمز على الفور: ج. نأخذ مواضع كرات m من n. نتوقف عن الاهتمام بالطلب ونحصل على مجموعات متكررة. للحصول على عدد التركيبات ، نحتاج إلى قسمة عدد المواضع على m! (م عاملي). أي C \u003d A / m! وبالتالي ، هناك عدة طرق للاختيار من بين n كرات ، تساوي تقريبًا عدد الكرات التي تختار كل شيء تقريبًا. هناك تعبير منطقي لهذا: اختيار القليل هو نفس التخلص من كل شيء تقريبًا. من المهم أيضًا الإشارة في هذه المرحلة إلى أنه يمكن تحقيق أقصى عدد من المجموعات عند محاولة تحديد نصف العناصر.
كيف تختار صيغة لحل مشكلة
لقد درسنا بالتفصيل الصيغ الأساسية للتوافقيات: التنسيب والتبديل والجمع. مهمتنا الآن هي تسهيل اختيار الصيغة اللازمة لحل المشكلة في التوافقية. يمكنك استخدام المخطط البسيط التالي:
- اسأل نفسك: هل يؤخذ ترتيب العناصر في الاعتبار في نص المشكلة؟
- إذا كانت الإجابة لا ، فاستخدم الصيغة المركبة (C=n! / (m!(n - m)!)).
- إذا كانت الإجابة لا ، فأنت بحاجة إلى الإجابة على سؤال آخر: هل جميع العناصر مدرجة في المجموعة؟
- إذا كانت الإجابة بنعم ، فاستخدم صيغة التقليب (P=n!).
- إذا كانت الإجابة لا ، فاستخدم معادلة التخصيص (A=n! / (n - m)!).
مثال
لقد نظرنا في عناصر التوافقية والصيغ وبعض القضايا الأخرى. الآن دعنا ننتقل إلىالنظر في مشكلة حقيقية. تخيل أن لديك كيوي وبرتقال وموزة أمامك
السؤال الأول: ما هو عدد الطرق التي يمكن بها إعادة ترتيبها؟ للقيام بذلك ، نستخدم صيغة التقليب: P=3!=6 طرق.
السؤال الثاني: ما هو عدد الطرق التي يمكن فيها اختيار فاكهة واحدة؟ هذا واضح ، لدينا ثلاثة خيارات فقط - اختر كيوي أو برتقال أو موز ، لكننا نطبق صيغة المجموعة: C \u003d 3! / (2!1!)=3.
السؤال الثالث: ما هو عدد الطرق التي يمكن بها اختيار ثمارتيْن؟ ما هي الخيارات التي لدينا؟ الكيوي والبرتقال الكيوي والموز. البرتقال والموز. أي ثلاثة خيارات ، ولكن من السهل التحقق من ذلك باستخدام صيغة المجموعة: C \u003d 3! / (1!2!)=3
السؤال الرابع: ما هو عدد الطرق التي يمكن بها اختيار ثلاث فواكه؟ كما ترى ، هناك طريقة واحدة فقط لاختيار ثلاث فواكه: تناول الكيوي والبرتقال والموز. ج=3! / (0!3!)=1.
السؤال الخامس: كم عدد الطرق التي يمكنك بها اختيار فاكهة واحدة على الأقل؟ يشير هذا الشرط إلى أنه يمكننا تناول ثمار أو اثنتين أو ثلاث ثمار. لذلك ، نضيف C1 + C2 + C3=3 + 3 + 1=7. أي ، لدينا سبع طرق لأخذ قطعة واحدة على الأقل من الفاكهة من الجدول.
