الهندسة جميلة لأنها ، على عكس الجبر ، حيث لا يكون واضحًا دائمًا ما تعتقده ولماذا ، فإنها تعطي رؤية للكائن. هذا العالم الرائع من أجسام مختلفة مزين بأشكال متعددة الوجوه منتظمة.
معلومات عامة حول المجسمات العادية
وفقًا للعديد من الأشكال المتعددة السطوح العادية ، أو كما يطلق عليها أيضًا المواد الصلبة الأفلاطونية ، لها خصائص فريدة. ترتبط العديد من الفرضيات العلمية بهذه الأشياء. عندما تبدأ في دراسة هذه الأجسام الهندسية ، فإنك تدرك أنك لا تعرف شيئًا عمليًا عن مفهوم مثل متعدد الوجوه المنتظم. إن عرض هذه الأشياء في المدرسة ليس دائمًا مثيرًا للاهتمام ، لذلك لا يتذكر الكثيرون حتى ما يطلق عليهم. يتذكر معظم الناس المكعب فقط. لا توجد أجسام في الهندسة مثالية مثل المجسمات المتعددة السطوح العادية. نشأت جميع أسماء هذه الأجسام الهندسية من اليونان القديمة. وهي تعني عدد الوجوه: رباعي الوجوه - رباعي الوجوه ، سداسي الوجوه - سداسي الوجوه ، ثماني السطوح - ثماني السطوح ، اثنا عشر وجهًا - اثني عشر وجهًا ، عشري الوجوه - عشرين جانبًا. كل هذه الأجسام الهندسيةاحتلت مكانًا مهمًا في مفهوم أفلاطون للكون. جسد أربعة منهم العناصر أو الكيانات: رباعي الوجوه - النار ، العشريني الوجوه - الماء ، المكعب - الأرض ، الثماني الوجوه - الهواء. يجسد الاثني عشر الوجوه كل ما هو موجود. كان يعتبر الرمز الرئيسي لأنه رمز الكون
تعميم مفهوم متعدد السطوح
متعدد السطوح هو مجموعة من عدد محدود من المضلعات مثل:
- كل جانب من جوانب أي من المضلعات هو في نفس الوقت جانب مضلع واحد آخر على نفس الجانب ؛
- من كل مضلع يمكنك الوصول إلى المضلعات الأخرى عن طريق تمرير المضلعات المجاورة لها.
المضلعات التي يتكون منها متعدد السطوح هي أوجهه ، وجوانبه عبارة عن حواف. رؤوس المضلعات هي رؤوس المضلعات. إذا تم فهم مفهوم المضلع على أنه خطوط مكسورة مسطحة ومغلقة ، عندئذٍ يصل المرء إلى تعريف واحد لمتعدد الوجوه. في حالة ما إذا كان هذا المفهوم يعني جزءًا من المستوى مقيدًا بخطوط متقطعة ، فيجب فهم السطح الذي يتكون من قطع متعددة الأضلاع. متعدد السطوح المحدب هو جسم يرقد على جانب واحد من مستوى مجاور لوجهه.
تعريف آخر لمتعدد السطوح وعناصره
متعدد السطوح هو سطح يتكون من مضلعات تحد من جسم هندسي. هم:
- غير محدب ؛
- محدب (صحيح وغير صحيح).
متعدد السطوح العادي هو متعدد السطوح محدب مع أقصى قدر من التناظر. عناصر المجسمات المنتظمة:
- رباعي السطوح: 6 حواف ، 4 وجوه ، 5 رؤوس ؛
- سداسي السطوح (مكعب): 12 ، 6 ، 8 ؛
- dodecahedron: 30 ، 12 ، 20 ؛
- ثماني السطوح: 12 ، 8 ، 6 ؛
- عشري الوجوه: 30 ، 20 ، 12.
نظرية أويلر
يؤسس علاقة بين عدد الحواف والرؤوس والوجوه التي تكافئ طوبولوجيًا للكرة. من خلال إضافة عدد الرؤوس والأوجه (B + D) للعديد من الأشكال المتعددة السطوح المنتظمة ومقارنتها بعدد الحواف ، يمكن إنشاء نمط واحد: مجموع عدد الوجوه والرؤوس يساوي عدد الحواف (P) المتزايدة بواسطة 2. يمكنك اشتقاق صيغة بسيطة:
B + D=R + 2
هذه الصيغة صحيحة لجميع الأشكال المتعددة السطوح المحدبة.
التعريفات الأساسية
لا يمكن وصف مفهوم متعدد السطوح المنتظم في جملة واحدة. إنه أكثر وضوحا وضخامة. لكي يتم التعرف على الجسم على هذا النحو ، يجب أن يفي بعدد من التعريفات. لذلك ، سيكون الجسم الهندسي متعدد السطوح منتظمًا إذا تم استيفاء الشروط التالية:
- محدب ؛
- يتقارب نفس عدد الحواف عند كل نقطة من رؤوسها ؛
- جميع وجوهها مضلعات منتظمة ، متساوية مع بعضها البعض ؛
- كل زواياها ثنائية الأضلاع متساوية
خصائص المجسمات العادية
هناك 5 أنواع مختلفة من المجسمات العادية:
- مكعب (سداسي الوجوه) - له زاوية مسطحة في الأعلى 90 درجة.لها زاوية 3 جوانب. مجموع الزوايا المسطحة في الأعلى 270 درجة.
- رباعي الوجوه - زاوية مسطحة في الأعلى - 60 درجة. لها زاوية 3 جوانب. مجموع الزوايا المسطحة في الأعلى 180 درجة.
- Octahedron - زاوية رأس مسطحة - 60 درجة. لها زاوية من 4 جوانب. مجموع الزوايا المسطحة في الأعلى 240 درجة.
- Dodecahedron - زاوية مسطحة عند قمة 108 درجة. لها زاوية 3 جوانب. مجموع الزوايا المسطحة في الأعلى هو 324 درجة.
- Icosahedron - لها زاوية مسطحة في الأعلى - 60 درجة. لها زاوية من 5 جوانب. مجموع الزوايا المسطحة في الأعلى 300 درجة.
مساحة المجسمات العادية
تُحسب مساحة سطح هذه الأجسام الهندسية (S) على أنها مساحة مضلع منتظم مضروبة في عدد أوجهه (G):
S=(أ: 2) × 2G ctg π / p
حجم مجسم منتظم
يتم حساب هذه القيمة بضرب حجم الهرم المنتظم الذي يوجد في قاعدته مضلع منتظم بعدد الوجوه وارتفاعه هو نصف قطر الكرة المنقوشة (r):
V=1: 3rS
أحجام المجسمات العادية
مثل أي جسم هندسي آخر ، متعددات الوجوه المنتظمة لها أحجام مختلفة. فيما يلي الصيغ التي يمكنك من خلالها حسابها:
- رباعي السطوح: α x 3√2: 12 ؛
- ثماني السطوح: α x 3√2: 3 ؛
- عشري الوجوه ؛ α × 3 ؛
- سداسي السطوح (مكعب): 5 × α × 3 × (3 + √5): 12 ؛
- dodecahedron: α x 3 (15 + 7√5): 4.
عناصر متعددات الوجوه المنتظمة
سداسي الوجوه و ثماني السطوح أجسام هندسية مزدوجة. بمعنى آخر ، يمكن الحصول عليها من بعضها البعض إذا تم اعتبار مركز ثقل وجه أحدهما بمثابة رأس الآخر ، والعكس صحيح. كما أن ثنائي الوجوه والعشريني الوجوه. فقط رباعي الوجوه هو مزدوج لنفسه. وفقًا لطريقة إقليدس ، يمكنك الحصول على ثنائي الوجوه من سداسي الوجوه عن طريق بناء "أسقف" على وجوه المكعب. ستكون رؤوس رباعي الوجوه عبارة عن أربعة رؤوس لمكعب غير متجاورة في أزواج على طول الحافة. من سداسي الوجوه (مكعب) يمكنك الحصول على مجسمات أخرى منتظمة. على الرغم من وجود عدد لا يحصى من المضلعات المنتظمة ، إلا أنه لا يوجد سوى 5 متعددات وجوه منتظمة.
نصف قطر المضلعات المنتظمة
هناك 3 مجالات متحدة المركز مرتبطة بكل من هذه الأجسام الهندسية:
- موصوف يمر عبر قممه
- منقوشة ، تلامس كل وجه من وجوهها في وسطها ؛
- وسيط ، لمس جميع الحواف في المنتصف.
يتم حساب نصف قطر الكرة الموصوفة بالصيغة التالية:
R=أ: 2 x tg π / g x tg: 2
يتم حساب نصف قطر الكرة المدرج بالصيغة:
R=أ: 2 x ctg π / p x tg: 2 ،
حيث θ هي الزاوية ثنائية الأضلاع بين الوجوه المتجاورة.
يمكن حساب نصف قطر الكرة الوسيطة باستخدام الصيغة التالية:
ρ=a cos π / p: 2 sin π / h،
حيث قيمة h=4 أو 6 أو 6 أو 10 أو 10. تكون نسبة نصف القطر المحصور والمنقوش متناظرة فيما يتعلق بـ p و q. هو - هيتحسب بالصيغة:
R / r=tg π / p x tg π / q
تماثل المجسمات
تناظر متعددات الوجوه المنتظمة يسبب الاهتمام الرئيسي في هذه الأجسام الهندسية. يُفهم على أنه حركة للجسم في الفضاء ، والتي تترك نفس عدد الرؤوس والوجوه والحواف. بمعنى آخر ، تحت تأثير تحويل التناظر ، إما أن تحتفظ الحافة أو الرأس أو الوجه بموضعها الأصلي أو تنتقل إلى الموضع الأصلي لحافة أو رأس أو وجه آخر.
تعتبر عناصر التماثل لمتعددات الوجوه المنتظمة من سمات جميع أنواع هذه الأجسام الهندسية. نحن هنا نتحدث عن تحول مماثل يترك أيًا من النقاط في موضعها الأصلي. لذلك ، عندما تقوم بتدوير منشور متعدد الأضلاع ، يمكنك الحصول على العديد من التماثلات. يمكن تمثيل أي منهم على أنه نتاج انعكاسات. يسمى التناظر الناتج عن عدد زوجي من الانعكاسات بالخط المستقيم. إذا كان ناتجًا عن عدد فردي من الانعكاسات ، فإنه يسمى معكوس. وبالتالي ، فإن جميع التدويرات حول خط ما هي تناظر مباشر. أي انعكاس لمتعدد السطوح هو تناظر عكسي.
لفهم عناصر التناظر بشكل أفضل لمتعددات الوجوه المنتظمة ، يمكننا أخذ مثال رباعي السطوح. أي خط مستقيم يمر عبر إحدى القمم ومركز هذا الشكل الهندسي سيمر أيضًا بمركز الوجه المقابل له. كل من 120 درجة و 240 درجة حول الخط هي صيغة الجمع.تناظر رباعي الوجوه. نظرًا لأنه يحتوي على 4 رؤوس و 4 أوجه ، فلا يوجد سوى ثمانية تماثلات مباشرة. أي من الخطوط التي تمر عبر منتصف الحافة ووسط هذا الجسم يمر عبر منتصف الحافة المقابلة. أي دوران 180 درجة ، يسمى نصف دورة ، حول خط مستقيم هو تناظر. نظرًا لأن رباعي الوجوه له ثلاثة أزواج من الحواف ، فهناك ثلاثة تماثلات مباشرة أخرى. بناءً على ما سبق ، يمكننا أن نستنتج أن العدد الإجمالي للتماثلات المباشرة ، بما في ذلك التحويل المتطابق ، سيصل إلى اثني عشر. لا يحتوي رباعي الوجوه على تماثلات مباشرة أخرى ، لكن لديه 12 تناظرًا عكسيًا. لذلك ، يتميز رباعي الوجوه بإجمالي 24 تناظرًا. من أجل الوضوح ، يمكنك بناء نموذج رباعي السطوح منتظم من الورق المقوى والتأكد من أن هذا الجسم الهندسي يحتوي بالفعل على 24 تماثلًا فقط.
الاثني عشر الوجوه والعشروني الوجوه هي الأقرب إلى كرة الجسم. يحتوي العشريني الوجوه على أكبر عدد من الوجوه ، وأكبر زاوية ثنائية السطوح ، ويمكن ضغطه بشدة على كرة منقوشة. يحتوي الاثنا عشري الوجوه على أصغر عيب زاوي ، وأكبر زاوية صلبة في القمة. يمكنه ملء المجال الموصوف إلى أقصى حد.
عمليات مسح متعدد الوجوه
متعدد الوجوه العادية غير المغلفة ، والتي قمنا بلصقها معًا في مرحلة الطفولة ، لديها العديد من المفاهيم. إذا كانت هناك مجموعة من المضلعات ، كل جانب منها محدد بجانب واحد فقط من متعدد السطوح ، فإن تحديد الجوانب يجب أن يفي بشرطين:
- من كل مضلع ، يمكنك تجاوز المضلعات التي تحتوي علىالجانب المحدد ؛
- جوانب محددة يجب أن يكون لها نفس الطول.
إن مجموعة المضلعات التي تستوفي هذه الشروط تسمى تطوير متعدد السطوح. كل من هذه الهيئات لديها العديد منها. لذلك ، على سبيل المثال ، يحتوي المكعب على 11 منهم.
