لوضعها ببساطة وإيجازًا ، النطاق هو القيم التي يمكن أن تتخذها أي وظيفة. لاستكشاف هذا الموضوع بالكامل ، تحتاج إلى تفكيك النقاط والمفاهيم التالية تدريجيًا. أولاً ، دعنا نفهم تعريف الوظيفة وتاريخ ظهورها.
ما هي الوظيفة
تزودنا جميع العلوم الدقيقة بالعديد من الأمثلة حيث تعتمد المتغيرات المعنية بطريقة ما على بعضها البعض. على سبيل المثال ، يتم تحديد كثافة المادة تمامًا من خلال كتلتها وحجمها. يختلف ضغط الغاز المثالي عند حجم ثابت باختلاف درجة الحرارة. توحد هذه الأمثلة حقيقة أن جميع الصيغ لها تبعيات بين المتغيرات ، والتي تسمى وظيفية.
الوظيفة هي مفهوم يعبر عن اعتماد كمية على أخرى. لها الصيغة y=f (x) ، حيث y هي قيمة الوظيفة ، والتي تعتمد على x - الوسيطة. وبالتالي ، يمكننا القول إن y متغير يعتمد على قيمة x. القيم التي يمكن أن تأخذها x معًا هيمجال الوظيفة المعينة (D (y) أو D (f)) ، وبالتالي ، تشكل قيم y مجموعة قيم الوظيفة (E (f) أو E (y)). هناك حالات يتم فيها إعطاء دالة بواسطة صيغة ما. في هذه الحالة ، يتكون مجال التعريف من قيمة هذه المتغيرات ، والتي يكون فيها التدوين مع الصيغة منطقيًا.
هناك ميزات مطابقة أو متساوية. هاتان الوظيفتان لهما نطاقات متساوية من القيم الصالحة ، وكذلك قيم الوظيفة نفسها متساوية لجميع الوسائط نفسها.
يتم تسمية العديد من قوانين العلوم الدقيقة على غرار المواقف في الحياة الواقعية. هناك حقيقة مثيرة للاهتمام أيضًا حول الوظيفة الرياضية. هناك نظرية حول حد الوظيفة "المحصورة" بين اثنين آخرين لهما نفس الحد - حوالي شرطيين. يشرحون الأمر على هذا النحو: بما أن شرطيين يقودان سجينًا إلى زنزانة بينهما ، يُجبر المجرم على الذهاب إلى هناك ، وببساطة ليس لديه خيار.
مرجع الميزة التاريخية
لم يصبح مفهوم الوظيفة نهائيًا ودقيقًا على الفور ، فقد مر طريقًا طويلاً ليصبح. أولاً ، نصت مقدمة ودراسة فيرما على المستوى والأماكن الصلبة ، التي نُشرت في أواخر القرن السابع عشر ، على ما يلي:
عندما يكون هناك مجهولين في المعادلة النهائية ، هناك متسع.
بشكل عام ، يتحدث هذا العمل عن التبعية الوظيفية وصورتها المادية (المكان=الخط).
أيضًا ، في نفس الوقت تقريبًا ، درس رينيه ديكارت الخطوط بواسطة معادلاتها في عمله "الهندسة" (1637) ، حيث مرة أخرى حقيقةاعتماد كميتين على بعضهما البعض
ظهر ذكر مصطلح "الوظيفة" فقط في نهاية القرن السابع عشر مع لايبنيز ، ولكن ليس في تفسيره الحديث. اعتبر في عمله العلمي أن الوظيفة عبارة عن شرائح متنوعة مرتبطة بخط منحني.
لكن بالفعل في القرن الثامن عشر ، بدأ تحديد الوظيفة بشكل أكثر دقة. كتب برنولي ما يلي:
الوظيفة هي قيمة تتكون من متغير وثابت.
أفكار أويلر كانت قريبة أيضًا من هذا:
دالة الكمية المتغيرة هي تعبير تحليلي يتكون بطريقة ما من هذه الكمية المتغيرة والأرقام أو الكميات الثابتة.
عندما تعتمد بعض الكميات على أخرى بطريقة أنه عندما تتغير الأخيرة ، فإنها هي نفسها تتغير ، ثم تسمى الأولى وظائف الثانية.
وظيفة الرسم البياني
يتكون الرسم البياني للوظيفة من جميع النقاط التي تنتمي إلى محاور المستوى الإحداثي ، والتي تأخذ الحروف الأبجدية قيم الوسيطة ، وقيم الوظيفة عند هذه النقاط هي إحداثيات.
يرتبط نطاق الوظيفة ارتباطًا مباشرًا بالرسم البياني الخاص بها ، لأنه إذا تم استبعاد أي حروف مفرغة من نطاق القيم الصالحة ، فأنت بحاجة إلى رسم نقاط فارغة على الرسم البياني أو رسم الرسم البياني ضمن حدود معينة. على سبيل المثال ، إذا تم أخذ رسم بياني بالصيغة y=tgx ، فسيتم استبعاد القيمة x=pi / 2 + pin ، n∉R من منطقة التعريف ، في حالة الرسم البياني المماس ، فأنت بحاجة إلى الرسمخطوط عمودية موازية للمحور y (تسمى خطوط مقاربة) تمر عبر النقاط ± pi / 2.
أي دراسة شاملة ودقيقة للوظائف تشكل فرعًا كبيرًا من الرياضيات يسمى حساب التفاضل والتكامل. في الرياضيات الابتدائية ، يتم التطرق أيضًا إلى الأسئلة الأولية حول الوظائف ، على سبيل المثال ، بناء رسم بياني بسيط وإنشاء بعض الخصائص الأساسية للدالة.
ما هي الوظيفة التي يمكن ضبطها على
يمكن للوظيفة:
- تكون صيغة ، على سبيل المثال: y=cos x ؛
- يحددها أي جدول أزواج من النموذج (x ؛ y) ؛
- على الفور عرض رسومي ، لهذا يجب عرض الأزواج من العنصر السابق من النموذج (س ؛ ص) على محاور الإحداثيات.
كن حذرًا عند حل بعض المشكلات عالية المستوى ، يمكن اعتبار أي تعبير تقريبًا كدالة فيما يتعلق ببعض الحجج لقيمة الدالة y (x). يمكن أن يكون العثور على مجال التعريف في مثل هذه المهام هو مفتاح الحل.
ما هو المجال؟
أول شيء تحتاج لمعرفته حول الوظيفة من أجل دراستها أو بنائها هو نطاقها. يجب أن يحتوي الرسم البياني فقط على تلك النقاط التي يمكن أن توجد فيها الوظيفة. يمكن أيضًا الإشارة إلى مجال التعريف (x) على أنه مجال القيم المقبولة (والمختصر باسم ODZ).
لإنشاء رسم بياني للوظائف بشكل صحيح وسريع ، تحتاج إلى معرفة مجال هذه الوظيفة ، لأن مظهر الرسم البياني والدقة يعتمدان عليهاعمال بناء. على سبيل المثال ، لإنشاء دالة y=√x ، عليك أن تعرف أن x لا يمكنه إلا أن يأخذ قيمًا موجبة. لذلك ، فهو مبني فقط في ربع الإحداثيات الأول.
نطاق التعريف في مثال الدوال الأولية
في ترسانتها ، تحتوي الرياضيات على عدد صغير من الوظائف البسيطة والمحددة. لديهم نطاق محدود. لن يسبب حل هذه المشكلة صعوبات حتى لو كان لديك ما يسمى بالوظيفة المعقدة أمامك. إنها مجرد مزيج من عدة أشياء بسيطة.
- إذن ، يمكن أن تكون الوظيفة كسرية ، على سبيل المثال: f (x)=1 / x. وبالتالي ، فإن المتغير (الوسيطة) موجود في المقام ، والجميع يعلم أن مقام الكسر لا يمكن أن يساوي 0 ، وبالتالي ، يمكن أن تأخذ الوسيطة أي قيمة باستثناء 0. سيبدو الرمز كما يلي: D (y)=س∈ (-∞ ؛ 0) ∪ (0 ؛ +). إذا كان هناك بعض التعبير مع متغير في المقام ، فأنت بحاجة إلى حل معادلة x واستبعاد القيم التي تحول المقام إلى 0. للتمثيل التخطيطي ، يكفي 5 نقاط مختارة جيدًا. سيكون الرسم البياني لهذه الوظيفة عبارة عن قطع زائد مع خط مقارب رأسي يمر عبر النقطة (0 ؛ 0) ، وفي تركيبة ، محوري Ox و Oy. إذا تقاطعت الصورة الرسومية مع الخطوط المقاربة ، فسيتم اعتبار هذا الخطأ هو الأخطر.
- لكن ما هو مجال الجذر؟ مجال الوظيفة بتعبير جذري (f (x)=√ (2x + 5)) ، الذي يحتوي على متغير ، له أيضًا الفروق الدقيقة الخاصة به (ينطبق فقط على جذر الدرجة الزوجية). مثلالجذر الحسابي هو تعبير موجب أو يساوي 0 ، ثم يجب أن يكون التعبير الجذر أكبر من أو يساوي 0 ، ونحل المتباينة التالية: 2x + 5 ≧ 0 ، x ≧ -2 ، 5 ، لذلك ، مجال هذا الوظيفة: D (y)=x ∈ (-2 ، 5 ؛ + ∞). الرسم البياني هو أحد فروع القطع المكافئ ، يتم تدويره بمقدار 90 درجة ، ويقع في ربع الإحداثيات الأول.
- إذا كنا نتعامل مع دالة لوغاريتمية ، فعليك أن تتذكر أن هناك قيودًا فيما يتعلق بأساس اللوغاريتم والتعبير تحت علامة اللوغاريتم ، في هذه الحالة يمكنك العثور على مجال التعريف مثل يتبع. لدينا دالة: y=loga(x + 7) ، نحل المتباينة: x + 7 > 0 ، x > -7. ثم مجال هذه الوظيفة هو D (y)=x ∈ (-7 ؛ + ∞).
- انتبه أيضًا إلى الدوال المثلثية بالصيغة y=tgx و y=ctgx ، نظرًا لأن y=tgx=sinx / cos / x و y=ctgx=cosx / sinx ، لذلك تحتاج إلى استبعاد القيم حيث يمكن أن يساوي المقام صفرًا. إذا كنت معتادًا على الرسوم البيانية للوظائف المثلثية ، فإن فهم مجالها يعد مهمة بسيطة.
كيف يتم العمل مع وظائف معقدة مختلفة
تذكر بعض القواعد الأساسية. إذا كنا نتعامل مع دالة معقدة ، فلا داعي لحل شيء ما ، وتبسيطه ، وإضافة الكسور ، والتقليل إلى المقام المشترك الأصغر ، واستخراج الجذور. يجب علينا التحقيق في هذه الوظيفة لأن عمليات مختلفة (حتى متطابقة) يمكن أن تغير نطاق الوظيفة ، مما يؤدي إلى إجابة غير صحيحة.
على سبيل المثال ، لدينا دالة معقدة: y=(x2- 4) / (x - 2). لا يمكننا اختزال البسط والمقام في الكسر ، لأن هذا ممكن فقط إذا كانت x ≠ 2 ، وهذه هي مهمة إيجاد مجال الدالة ، لذلك نحن لا نحلل البسط ولا نحل أي متباينات ، لأن القيمة التي لا توجد عندها الوظيفة ، مرئية للعين المجردة. في هذه الحالة ، لا يمكن أن تأخذ x القيمة 2 ، نظرًا لأن المقام لا يمكن أن ينتقل إلى 0 ، سيبدو الترميز كما يلي: D (y)=x ∉ (-∞ ؛ 2) ∪ (2 ؛ + ∞).
دوال متبادلة
بالنسبة للمبتدئين ، من الجدير بالقول أن الوظيفة يمكن أن تصبح قابلة للعكس فقط في فترة زيادة أو نقصان. لإيجاد الدالة العكسية ، عليك تبديل x و y في الترميز وحل المعادلة من أجل x. يتم عكس مجالات التعريف ومجالات القيمة ببساطة.
الشرط الرئيسي لقابلية الانعكاس هو الفاصل الزمني الرتيب لوظيفة ما ، إذا كان للوظيفة فترات زيادة ونقصان ، فمن الممكن تكوين دالة عكسية لأي فاصل زمني واحد (زيادة أو نقصان).
على سبيل المثال ، بالنسبة للدالة الأسية y=ex، يكون المقابل هو الدالة اللوغاريتمية الطبيعية y=logea=lna. بالنسبة إلى علم المثلثات ، ستكون هذه دوال مع البادئة arc-: y=sinx و y=arcsinx وما إلى ذلك. سيتم وضع الرسوم البيانية بشكل متماثل فيما يتعلق ببعض المحاور أو الخطوط المقاربة.
الاستنتاجات
البحث عن نطاق من القيم المقبولة ينحصر في فحص الرسم البياني للوظائف (إذا كان هناك واحد) ،تسجيل وحل نظام عدم المساواة المحدد الضروري.
إذن ، ساعدتك هذه المقالة في فهم الغرض من نطاق الوظيفة وكيفية العثور عليها. نأمل أن يساعدك ذلك على فهم الدورة الدراسية الأساسية جيدًا.
