عند كلمة "ما لا نهاية" لكل شخص ارتباطاته الخاصة. يرسم الكثيرون في خيالهم البحر الذي يتجاوز الأفق ، بينما يرسم آخرون أمام أعينهم صورة لسماء مرصعة بالنجوم لا نهاية لها. علماء الرياضيات ، الذين اعتادوا على التعامل مع الأرقام ، يتخيلون اللانهاية بطريقة مختلفة تمامًا. لقرون عديدة كانوا يحاولون العثور على أكبر الكميات المادية المطلوبة للقياس. واحد منهم هو رقم جراهام. كم عدد الأصفار فيه وما الغرض من استخدامه ، ستخبرك هذه المقالة.
عدد كبير بلا حدود
في الرياضيات ، هذا هو اسم هذا المتغير x ، إذا كان لأي رقم موجب معين M يمكن للمرء تحديد رقم طبيعي N بحيث يكون لجميع الأرقام n أكبر من N عدم المساواة | x | > M. ومع ذلك ، لا ، على سبيل المثال ، يمكن اعتبار العدد الصحيح Z كبيرًا بشكل لا نهائي ، لأنه سيكون دائمًا أقل من (Z + 1).
بضع كلمات عن "العمالقة"
تعتبر أكبر الأرقام التي لها معنى مادي هي:
- 1080. يستخدم هذا الرقم ، الذي يُطلق عليه عادةً اسم quinquavigintillion ، للإشارة إلى العدد التقريبي للكواركات واللبتونات (أصغر الجسيمات) في الكون.
- 1 جوجل. يتم كتابة هذا الرقم في النظام العشري كوحدة بها 100 صفر. وفقًا لبعض النماذج الرياضية ، من وقت الانفجار العظيم إلى انفجار أضخم ثقب أسود ، يجب أن تمر من سنة إلى 1.5 سنة googol ، وبعد ذلك ينتقل كوننا إلى المرحلة الأخيرة من وجوده ، أي يمكننا افترض أن هذا الرقم له معنى مادي معين.
- 8 ، 5 × 10185. ثابت بلانك هو 1.616199 × 10-35م ، أي في التدوين العشري يبدو مثل 0.00000000000000000000000000000616199 م. يبلغ طول googol Planck واحدًا تقريبًا في البوصة. تشير التقديرات إلى أن حوالي 8.5 × 10185أطوال بلانك يمكن أن تناسب الكون بأكمله.
- 277232917- 1. هذا هو أكبر عدد أولي معروف. إذا كان التدوين الثنائي له شكل مضغوط إلى حد ما ، فمن أجل تصويره في شكل عشري ، فلن يستغرق الأمر أقل من 13 مليون حرف. تم العثور عليه في عام 2017 كجزء من مشروع للبحث عن أرقام مرسين. إذا استمر المتحمسون في العمل في هذا الاتجاه ، فعند المستوى الحالي لتطوير تكنولوجيا الكمبيوتر ، فمن غير المحتمل أن يتمكنوا في المستقبل القريب من العثور على رقم ميرسين بترتيب أكبر من 277232917- 1 ، على الرغم من ذلكسيحصل الفائز المحظوظ على 150.000 دولار أمريكي.
- هوجوبلكس. هنا نأخذ 1 ونضيف الأصفار بعدها بمقدار 1 googol. يمكنك كتابة هذا الرقم كـ 10 ^ 10 ^ 100. من المستحيل تمثيله في شكل عشري ، لأنه إذا كانت مساحة الكون بأكملها مليئة بقطع من الورق ، فسيتم كتابة 0 على كل منها بخط "Word" بحجم 10 ، ففي هذه الحالة نصف فقط سيتم الحصول على كل 0 بعد 1 لرقم googolplex.
- 10 ^ 10 ^ 10 ^ 10 ^ 10 ^ 1.1. هذا رقم يوضح عدد السنوات التي بعد ذلك ، وفقًا لنظرية بوانكاريه ، سيعود كوننا ، نتيجة لتقلبات كمية عشوائية ، إلى حالة قريبة من اليوم.
كيف جاءت أرقام جراهام
في عام 1977 ، نشر مشهور العلم الشهير مارتن جاردنر مقالاً في مجلة Scientific American بخصوص إثبات جراهام لإحدى مشكلات نظرية رامس. في ذلك ، أطلق على الحد الذي حدده العالم أكبر عدد تم استخدامه على الإطلاق في التفكير الرياضي الجاد.
من هو رونالد لويس جراهام
العالم ، الآن في الثمانينيات من عمره ، ولد في ولاية كاليفورنيا. في عام 1962 حصل على درجة الدكتوراه في الرياضيات من جامعة بيركلي. عمل في Bell Labs لمدة 37 عامًا ثم انتقل بعد ذلك إلى AT&T Labs. تعاون العالم بنشاط مع أحد أعظم علماء الرياضيات في القرن العشرين ، Pal Erdős ، وهو الفائز بالعديد من الجوائز المرموقة. تحتوي قائمة مراجع جراهام العلمية على أكثر من 320 ورقة علمية.
في منتصف السبعينيات ، كان العالم مهتمًا بالمشكلة المرتبطة بالنظريةرامسي. في إثباته ، تم تحديد الحد الأعلى للحل ، وهو رقم كبير جدًا ، سُمي لاحقًا على اسم رونالد جراهام.
مشكلة Hypercube
لفهم جوهر رقم جراهام ، يجب أن تفهم أولاً كيف تم الحصول عليه.
كان العالم وزميله بروس روتشيلد يحلان المشكلة التالية:
هناك hypercube ن الأبعاد. جميع أزواج رؤوسها متصلة بطريقة يتم فيها الحصول على رسم بياني كامل برؤوس 2. كل حوافها ملونة إما باللون الأزرق أو الأحمر. كان مطلوبًا العثور على الحد الأدنى لعدد الرؤوس التي يجب أن يحتوي عليها المكعب الفائق بحيث يحتوي كل تلوين على رسم فرعي أحادي اللون كامل مع 4 رؤوس تقع في نفس المستوى.
القرار
أثبت Graham and Rothschild أن المشكلة لها حل N 'يفي بالشرط 6 ⩽ N' ⩽N حيث N هو رقم محدد جيدًا وكبير جدًا.
تم تنقيح الحد الأدنى لـ N لاحقًا بواسطة علماء آخرين ، الذين أثبتوا أن N يجب أن يكون أكبر من أو يساوي 13. وهكذا ، أصبح التعبير عن أصغر عدد من رؤوس المكعب الفائق الذي يلبي الشروط المذكورة أعلاه 13 ⩽ N'⩽ N.
تدوين سهم Knuth
قبل تحديد رقم Graham ، يجب أن تتعرف على طريقة تمثيله الرمزي ، حيث لا يناسب هذا الرقم العشري ولا الثنائي تمامًا.
حاليًا ، يتم استخدام تدوين سهم Knuth لتمثيل هذه الكمية. وفقا لها:
ab="سهم لأعلى" ب.
لتشغيل الأُس المتعدد ، تم تقديم الإدخال:
a "سهم لأعلى" "سهم لأعلى" b=ab="برج يتكون من a بمقدار القطع b."
وللحصول على pentation ، أي التعيين الرمزي للأس المتكرر للعامل السابق ، استخدم Knuth بالفعل 3 أسهم.
باستخدام هذا الترميز لرقم جراهام ، لدينا تسلسلات "سهم" متداخلة في بعضها البعض ، بمبلغ 64 قطعة.
مقياس
رقمهم الشهير ، الذي يثير الخيال ويوسع حدود الوعي البشري ، ويخرجه إلى ما وراء حدود الكون ، حصل جراهام وزملاؤه عليه كحد أعلى للرقم N في إثبات المكعب الفائق المشكلة المعروضة أعلاه. من الصعب للغاية على الشخص العادي أن يتخيل مدى اتساع نطاقه.
مسألة عدد الأحرف ، أو كما يُقال أحيانًا عن طريق الخطأ ، الأصفار في رقم جراهام ، تهم تقريبًا كل من يسمع عن هذه القيمة لأول مرة.
يكفي أن نقول إننا نتعامل مع تسلسل سريع النمو يتكون من 64 عضوًا. حتى المصطلح الأول من المستحيل تخيله ، لأنه يتكون من n "أبراج" ، تتكون من 3-to. بالفعل "الطابق السفلي" المكون من 3 أضعاف يساوي 7،625،597،484،987 ، أي أنه يتجاوز 7 مليارات ، أي عن الطابق 64 (ليس عضوًا!). وبالتالي ، من المستحيل حاليًا تحديد رقم جراهام بالضبط ، لأنه لا يكفي لحسابه.القوة المجمعة لجميع أجهزة الكمبيوتر الموجودة على الأرض اليوم.
السجل مكسور؟
في عملية إثبات نظرية كروسكال ، تم "التخلص من رقم جراهام". اقترح العالم المشكلة التالية:
هناك تسلسل لانهائي من الأشجار المحدودة. أثبت Kruskal أنه يوجد دائمًا قسم من رسم بياني ، والذي يعد جزءًا من رسم بياني أكبر ونسخته الدقيقة. هذا البيان لا يثير أي شك ، لأنه من الواضح أنه سيكون هناك دائمًا مجموعة متكررة تمامًا عند اللانهاية
لاحقًا ، قام هارفي فريدمان بتضييق هذه المشكلة إلى حد ما من خلال النظر فقط في مثل هذه الرسوم البيانية غير الدورية (الأشجار) بحيث توجد رؤوس (i + k) على الأكثر بالنسبة لرسمة معينة ذات معامل. قرر معرفة عدد الرسوم البيانية غير الدورية ، بحيث يكون من الممكن دائمًا باستخدام طريقة مهمتهم هذه العثور على شجرة فرعية يتم تضمينها في شجرة أخرى.
نتيجة البحث في هذه القضية ، وجد أن N ، اعتمادًا على k ، ينمو بسرعة هائلة. على وجه الخصوص ، إذا كانت k=1 ، فعندئذٍ N=3. ومع ذلك ، عند k=2 ، N تصل بالفعل 11. الشيء الأكثر إثارة للاهتمام يبدأ عندما k=3. في هذه الحالة ، N "تقلع" بسرعة وتصل إلى قيمة أكبر بعدة مرات من رقم جراهام. لتخيل حجمها ، يكفي تدوين الرقم الذي حسبه رونالد جراهام في شكل G64 (3). ثم قيمة فريدمان-كروسكال (المراجعة. FinKraskal (3)) ، ستكون من رتبة G (G (187196)). بمعنى آخر ، يتم الحصول على قيمة ضخمة ، وهي أكبر بشكل لا نهائيعدد كبير لا يمكن تصوره من جراهام. في نفس الوقت ، حتى أنه سيكون أقل من اللانهاية بعدد هائل من المرات. من المنطقي التحدث عن هذا المفهوم بمزيد من التفصيل.
إنفينيتي
الآن بعد أن أوضحنا ماهية رقم Graham على الأصابع ، يجب أن نفهم المعنى الذي تم وما يتم استثماره في هذا المفهوم الفلسفي. بعد كل شيء ، يمكن اعتبار "اللانهاية" و "العدد الكبير اللامتناهي" متطابقين في سياق معين.
قدم أرسطو أكبر مساهمة لدراسة هذه القضية. قسّم المفكر العظيم في العصور القديمة اللانهاية إلى محتملة وفعلية. من قبل الأخير ، كان يعني حقيقة وجود الأشياء اللانهائية.
وفقًا لأرسطو ، فإن مصادر الأفكار حول هذا المفهوم الأساسي هي:
- وقت ؛
- فصل القيم
- مفهوم الحدود ووجود ما وراءها
- عدم استنفاد الطبيعة الإبداعية ؛
- تفكير ليس له حدود
في التفسير الحديث لما لا نهاية ، لا يمكنك تحديد مقياس كمي ، وبالتالي فإن البحث عن أكبر رقم يمكن أن يستمر إلى الأبد.
الخلاصة
هل يمكن اعتبار الاستعارة "النظرة إلى اللانهاية" ورقم جراهام مترادفين بمعنى ما؟ بالأحرى نعم ولا. كلاهما من المستحيل تخيله ، حتى مع أقوى الخيال. ومع ذلك ، كما ذكرنا سابقًا ، لا يمكن اعتباره "الأكثر ، الأكثر". شيء آخر هو أنه في الوقت الحالي ، القيم الأكبر من رقم جراهام ليس لها قيمة ثابتةالحس المادي
أيضًا ، لا يحتوي على خصائص عدد لانهائي، مثل:
- ∞ + 1=∞ ؛
- هناك عدد لا حصر له من كل من الأرقام الفردية والزوجية ؛
- ∞ - 1=∞ ؛
- عدد الأرقام الفردية هو بالضبط نصف جميع الأرقام ؛
- ∞ + ∞=∞ ؛
- ∞ / 2=∞.
للتلخيص: رقم جراهام هو أكبر رقم في ممارسة البرهان الرياضي ، وفقًا لموسوعة جينيس للأرقام القياسية. ومع ذلك ، هناك أرقام أكبر بعدة مرات من هذه القيمة.
على الأرجح ، ستكون هناك حاجة في المستقبل إلى "عمالقة" أكبر ، خاصة إذا تجاوز الشخص نظامنا الشمسي أو اخترع شيئًا لا يمكن تصوره في المستوى الحالي من وعينا.
