هناك نطاق واسع من العلاقات على مثال المجموعات مصحوبًا بعدد كبير من المفاهيم ، بدءًا من تعريفاتها وانتهاءً بتحليل تحليلي للمفارقات. تنوع المفهوم الذي تمت مناقشته في المقالة على المجموعة لا حصر له. على الرغم من أنه عند الحديث عن الأنواع المزدوجة ، فإن هذا يعني العلاقات الثنائية بين عدة قيم. وأيضًا بين الأشياء أو العبارات.
كقاعدة عامة ، يتم الإشارة إلى العلاقات الثنائية بالرمز R ، أي إذا كانت xRx لأي قيمة x من الحقل R ، تسمى هذه الخاصية انعكاسية ، حيث يتم قبول x و x كموضوع فكري ، و R بمثابة علامة على ما إذا كان أو أي شكل آخر من أشكال العلاقة بين الأفراد. في الوقت نفسه ، إذا قمت بالتعبير عن xRy® أو yRx ، فهذا يشير إلى حالة التناظر ، حيث تكون ® علامة ضمنية مشابهة للاتحاد "إذا … ثم …". وأخيرًا ، فك تشفير نقش (xRy Ùy Rz) ®xRz يخبرنا عن العلاقة المتعدية ، والعلامة Ù عبارة عن أداة ربط.
العلاقة الثنائية التي تكون انعكاسية ومتناظرة ومتعدية تسمى علاقة التكافؤ. العلاقة f هي دالة ، والمساواة y=z تتبع من Î f و Î f. يمكن تطبيق دالة ثنائية بسيطة بسهولةإلى وسيطتين بسيطتين بترتيب معين ، وفي هذه الحالة فقط تزودها بالمعنى الموجه إلى هذين التعبيرين المأخوذين في حالة معينة.
يجب أن يقال أن f الخرائط x إلى y ،
إذا كانت f دالة ذات النطاق x والنطاق y. ومع ذلك ، عندما تقوم f باستقراء x إلى y ، و y z ، فإن هذا يتسبب في إظهار f لـ x في z. مثال بسيط: إذا كانت f (x)=2x صحيحة لأي عدد صحيح x ، فيُقال أن f تعين المجموعة الموقعة من جميع الأعداد الصحيحة المعروفة لمجموعة الأعداد الصحيحة نفسها ، ولكن هذه المرة أرقام زوجية. كما ذكرنا سابقًا ، العلاقات الثنائية التي تكون انعكاسية ومتناظرة ومتعدية هي علاقات تكافؤ.
بناءً على ما سبق ، يتم تحديد علاقات التكافؤ للعلاقات الثنائية من خلال الخصائص:
- الانعكاسية - النسبة (M ~ N) ؛
- تناظرات - إذا كانت المساواة M ~ N ، فسيكون هناك N ~ M ؛
- انتقالية - إذا تساوتان M ~ N و N ~ P ، ثم كنتيجة لذلك M ~ P.
دعونا ننظر في الخصائص المعلنة للعلاقات الثنائية بمزيد من التفصيل. الانعكاسية هي إحدى خصائص بعض الوصلات ، حيث يكون كل عنصر من عناصر المجموعة قيد الدراسة في مساواة معينة لنفسه. على سبيل المثال ، بين الأرقام a=c و a³ c هناك اتصالات انعكاسية ، حيث دائمًا a=a ، c=c ، a³ a ، c³ c. في الوقت نفسه ، فإن علاقة المتباينة a>c تكون مضادة للانعكاس بسبب استحالة وجود المتباينة a>a. يتم ترميز بديهية هذه الخاصية بعلامات: aRc®aRa Ù cRc ، هنا الرمز ® يعني كلمة "تتضمن" (أو "ضمني") ، والعلامة Ù - هي الاتحاد "و" (أو الاقتران). ويترتب على هذا البيان أنه إذا كان الحكم aRc صحيحًا ، فإن التعبيرات aRa و cRc صحيحة أيضًا.
التناظر يستلزم وجود علاقة حتى لو تم تبادل الأشياء العقلية ، أي مع علاقة متناظرة ، لا تؤدي إعادة ترتيب الأشياء إلى تحول من نوع "العلاقات الثنائية". على سبيل المثال ، علاقة المساواة أ=ج متناظرة بسبب تكافؤ العلاقة ج=أ ؛ الاقتراح a¹c هو نفسه أيضًا ، لأنه يتوافق مع الاتصال بـ¹a.
المجموعة متعدية هي خاصية تفي بالمتطلبات التالية: y н x، z н y ® z н x ، حيث ® هي علامة تحل محل الكلمات: "if…، then…". تتم قراءة الصيغة شفهيًا على النحو التالي: "إذا كان y يعتمد على x ، فإن z ينتمي إلى y ، فإن z يعتمد أيضًا على x".
