في كثير من الأحيان في الحياة نواجه الحاجة إلى تقييم فرص وقوع حدث ما. سواء كان الأمر يستحق شراء تذكرة يانصيب أم لا ، فما هو جنس الطفل الثالث في الأسرة ، وهل سيكون الطقس صافياً غداً أم ستمطر مرة أخرى - هناك أمثلة لا حصر لها. في أبسط الحالات ، يجب أن تقسم عدد النتائج المفضلة على العدد الإجمالي للأحداث. إذا كان هناك 10 تذاكر فائزة في اليانصيب ، وكان المجموع 50 ، فإن فرص الحصول على جائزة هي 10/50=0.2 ، أي 20 مقابل 100. ولكن ماذا لو كانت هناك عدة أحداث ، وكانت قريبة ذات صلة؟ في هذه الحالة ، لن نهتم بالاحتمال البسيط ، ولكن بالاحتمال الشرطي. ما هي هذه القيمة وكيف يمكن حسابها - سنناقش هذا في مقالتنا
مفهوم
الاحتمال الشرطي هو فرصة وقوع حدث معين ، بالنظر إلى وقوع حدث آخر مرتبط بالفعل. النظر في مثال بسيط معالقذف عملة. إذا لم يكن هناك تعادل حتى الآن ، فستكون فرص الحصول على صورة أو ذيل هي نفسها. ولكن إذا وضعت العملة خمس مرات متتالية مع شعار النبالة لأعلى ، فوافق على توقع السادس والسابع وحتى أكثر من ذلك ، لذا فإن التكرار العاشر لمثل هذه النتيجة سيكون غير منطقي. مع كل عنوان متكرر ، تزداد فرص ظهور ذيول وعاجلاً أم آجلاً ستنهار.
صيغة الاحتمال الشرطي
دعنا الآن نتعرف على كيفية حساب هذه القيمة. دعونا نشير إلى الحدث الأول على أنه B ، والثاني على أنه A. إذا كانت فرص حدوث B مختلفة عن الصفر ، فستكون المساواة التالية صالحة:
P (A | B)=P (AB) / P (B) ، حيث:
- P (A | B) - الاحتمال الشرطي للنتيجة A ؛
- P (AB) - احتمال حدوث مشترك للأحداث A و B ؛
- P (B) - احتمالية الحدث B.
بتحويل هذه النسبة قليلاً ، نحصل على P (AB)=P (A | B)P (B). وإذا طبقنا طريقة الاستقراء ، فيمكننا اشتقاق صيغة المنتج واستخدامها لعدد عشوائي من الأحداث:
P (A1، A2، A3، … A p )=P (A1| A2 … Ap )P (A 2| A3 … Ap)P (A 3| A4 … Ap )… R (Ap-1 | Ap)R (Ap).
الممارسة
لتسهيل فهم كيفية حساب الاحتمال الشرطي لحدث ما ، دعنا نلقي نظرة على مثالين. لنفترض أن هناك مزهرية تحتوي على 8 شوكولاتة و 7 نعناع. هم من نفس الحجم وعشوائية.تم سحب اثنين منهم على التوالي. ما هي احتمالات أن يكون كلاهما من الشوكولاتة؟ دعونا نقدم التدوين. دع النتيجة A تعني أن الحلوى الأولى هي الشوكولاتة ، والنتيجة B هي حلوى الشوكولاتة الثانية. ثم تحصل على ما يلي:
P (A)=P (B)=8/15 ،
الفوسفور (أ | ب)=الفوسفور (ب | أ)=7/14=1/2 ،
P (AB)=8/15 × 1/2=4/15 ≈ 0 ، 27
لنفكر في حالة أخرى. لنفترض أن هناك عائلة مكونة من طفلين ونعلم أن هناك طفلة واحدة على الأقل هي بنت
ما هو الاحتمال الشرطي بأن هؤلاء الآباء ليس لديهم أولاد بعد؟ كما في الحالة السابقة ، نبدأ بالتدوين. لنفترض أن P (B) هو احتمال وجود فتاة واحدة على الأقل في الأسرة ، P (A | B) هو احتمال أن يكون الطفل الثاني أيضًا فتاة ، P (AB) هو احتمال وجود فتاتين في الأسرة. العائلة. الآن لنقم بالحسابات. في المجموع ، يمكن أن يكون هناك 4 مجموعات مختلفة من جنس الأطفال ، وفي هذه الحالة ، فقط في حالة واحدة (عندما يكون هناك ولدان في الأسرة) ، لن يكون هناك فتاة بين الأطفال. لذلك ، فإن الاحتمال P (B)=3/4 ، و P (AB)=1/4. ثم ، باتباع صيغتنا ، نحصل على:
P (أ | ب)=1/4: 3/4=1 / 3.
يمكن تفسير النتيجة على النحو التالي: إذا لم نكن نعرف جنس أحد الأطفال ، فإن فرص وجود فتاتين ستكون 25 مقابل 100. ولكن بما أننا نعلم أن هناك طفلة واحدة ، فإن احتمالية أن عائلة الأولاد لا تزيد إلى الثلث
